Aplicando a regra da cadeia, derive as seguintes funções:
f(x)=3^{x^{3}-2 x+4}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=3^{x^{3}-2x+4}.
Ou seja, precisamos encontrar f'(x).

Passo 2

Vamos decompor a função em “interna” e “externa” para aplicar a regra da cadeia. Definimos:
u(x)=x^{3}-2x+4
e a função externa
h(t)=3^{t},
de modo que f(x)=h(u(x)). A regra da cadeia diz que, se f(x)=h(u(x)), então
f'(x)=h'(u(x))\cdot u'(x).
Isto significa: derivar a função externa em relação ao seu argumento t, avaliar em t=u(x), e multiplicar pela derivada da função interna u(x).

Passo 3

Agora precisamos da derivada de h(t)=3^{t} em relação a t. Para obter isso é útil reescrever 3^{t} usando a exponencial natural:
3^{t}=e^{t\ln 3}.
A derivada da função exponencial e^{v} é e^{v}\cdot v'. Aplicando isso com v=t\ln 3 temos
h'(t)=\frac{d}{dt}e^{t\ln 3}=e^{t\ln 3}\cdot\ln 3=3^{t}\ln 3.
Aqui \ln 3 é o logaritmo natural de 3 (uma constante).

Passo 4

Agora calculemos a derivada da função interna u(x)=x^{3}-2x+4. Derivando termo a termo:
\frac{d}{dx}x^{3}=3x^{2},\qquad \frac{d}{dx}(-2x)=-2,\qquad \frac{d}{dx}4=0.
Portanto
u'(x)=3x^{2}-2.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia f'(x)=h'(u(x))\cdot u'(x) e substituindo h'(t)=3^{t}\ln 3 e u(x), obtemos
f'(x)=3^{\,u(x)}\ln 3\cdot(3x^{2}-2).
Substituindo u(x)=x^{3}-2x+4 temos a forma final.

Resposta

f'(x)=3^{x^{3}-2x+4}\,\ln 3\,(3x^{2}-2).

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