[2.0 pt] Determine a área da parte do plano
no primeiro octante.
Passo 1
O enunciado pede a área da parte do plano
que está no primeiro octante. Informações dadas e o que isso implica:
- A equação do plano é
. - “Primeiro octante” significa
, , . - A região do plano no primeiro octante é limitada pelas interseções do plano com os planos coordenados. Essas interseções ocorrem quando duas coordenadas são zero:
- Interseção com o eixo
: tomar e dá . Ponto . - Interseção com o eixo
: tomar e dá . Ponto . - Interseção com o eixo
: tomar e dá . Ponto .
- Interseção com o eixo
- Portanto a região procurada é o triângulo do plano com vértices
, e .
O objetivo final: calcular a área dessa região triangular.
Passo 2
Escolha do método de resolução. Há várias maneiras:
- Usar a fórmula de área de superfície para uma função
projetando no plano . - Usar geometria vetorial: calcular o módulo do produto vetorial de dois lados do triângulo e dividir por
.
Vou optar pela fórmula de projeção sobre o plano(área projetada vezes fator de alongamento), porque aqui o plano pode ser escrito facilmente como linear e a constante que multiplica a área projetada fica simples. Depois faço um cheque rápido com o método vetorial para confirmar.
Passo 3
Apresentação e justificativa da fórmula que vou usar (aula rápida e intuitiva).
- Se uma superfície é dada por
, então um pequeno retângulo diferencial de área no plano corresponde a um pequeno paralelogramo na superfície cuja área é
- Essa fórmula vem da aproximação linear: os vetores tangentes à superfície nas direções
e são e ; a área do paralelogramo formado por esses vetores é o módulo do produto vetorial deles, que dá . Portanto a área total sobre uma região do plano é
- Aqui
e são as derivadas parciais de em relação a e ; é o elemento de área no plano .
Passo 4
Escrever o plano na forma
e calcular as derivadas parciais.
- Da equação
isolamos :
- Derivadas parciais:
- Assim o fator sob a raiz é
Observação: como
e
são constantes, o fator é constante sobre toda a região.
Passo 5
Determinar a região
projetada no plano
(a projeção do triângulo do plano sobre o plano
) e calcular sua área.
- A projeção dos vértices
sobre o plano são , e . Isso forma um triângulo no plano . - A área desse triângulo projetado
é a área de um triângulo retângulo de catetos e , então
Passo 6
Calcular a área da parte do plano usando a fórmula de área de superfície com o fator constante encontrado.
- Como o fator é
e a área projetada é , a área da superfície é
Passo 7
Verificação alternativa (cheque com geometria vetorial, para ganhar confiança).
- Tomamos os pontos
, , . - Vetores das arestas a partir de
:
- Produto vetorial:
- Módulo:
- Área do triângulo:
confirmando o resultado anterior.