[2.0 pt] Determine a área da parte do plano 2 x+2 y+z=8 no primeiro octante.

Passo 1

O enunciado pede a área da parte do plano 2x+2y+z=8 que está no primeiro octante. Informações dadas e o que isso implica:
  • A equação do plano é 2x+2y+z=8.
  • “Primeiro octante” significa x\ge 0, y\ge 0, z\ge 0.
  • A região do plano no primeiro octante é limitada pelas interseções do plano com os planos coordenados. Essas interseções ocorrem quando duas coordenadas são zero:
    • Interseção com o eixo x: tomar y=0 e z=0 2x=8\Rightarrow x=4. Ponto (4,0,0).
    • Interseção com o eixo y: tomar x=0 e z=0 2y=8\Rightarrow y=4. Ponto (0,4,0).
    • Interseção com o eixo z: tomar x=0 e y=0 z=8. Ponto (0,0,8).
  • Portanto a região procurada é o triângulo do plano com vértices A=(4,0,0), B=(0,4,0) e C=(0,0,8).
    O objetivo final: calcular a área dessa região triangular.

Passo 2

Escolha do método de resolução. Há várias maneiras:
  • Usar a fórmula de área de superfície para uma função z=f(x,y) projetando no plano xy.
  • Usar geometria vetorial: calcular o módulo do produto vetorial de dois lados do triângulo e dividir por 2.
    Vou optar pela fórmula de projeção sobre o plano xy (área projetada vezes fator de alongamento), porque aqui o plano pode ser escrito facilmente como z=f(x,y) linear e a constante que multiplica a área projetada fica simples. Depois faço um cheque rápido com o método vetorial para confirmar.

Passo 3

Apresentação e justificativa da fórmula que vou usar (aula rápida e intuitiva).
  • Se uma superfície é dada por z=f(x,y), então um pequeno retângulo diferencial de área dA no plano xy corresponde a um pequeno paralelogramo na superfície cuja área é
\sqrt{1+f_x(x,y)^2+f_y(x,y)^2}\,dA.
  • Essa fórmula vem da aproximação linear: os vetores tangentes à superfície nas direções x e y são (1,0,f_x) e (0,1,f_y); a área do paralelogramo formado por esses vetores é o módulo do produto vetorial deles, que dá \sqrt{1+f_x^2+f_y^2}. Portanto a área total sobre uma região R do plano xy é
\iint_R \sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,dA.
  • Aqui f_x e f_y são as derivadas parciais de f em relação a x e y; dA é o elemento de área no plano xy.

Passo 4

Escrever o plano na forma z=f(x,y) e calcular as derivadas parciais.
  • Da equação 2x+2y+z=8 isolamos z:
z = f(x,y) = 8 - 2x - 2y.
  • Derivadas parciais:
f_x(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}(8-2x-2y) = -2, \qquad f_y(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}(8-2x-2y) = -2.
  • Assim o fator sob a raiz é
\sqrt{1+f_x^2+f_y^2} = \sqrt{1+(-2)^2+(-2)^2} = \sqrt{1+4+4} = \sqrt{9} = 3.
Observação: como f_x e f_y são constantes, o fator é constante sobre toda a região.

Passo 5

Determinar a região R projetada no plano xy (a projeção do triângulo do plano sobre o plano xy) e calcular sua área.
  • A projeção dos vértices A,B,C sobre o plano xy são (4,0), (0,4) e (0,0). Isso forma um triângulo no plano xy.
  • A área desse triângulo projetado R é a área de um triângulo retângulo de catetos 4 e 4, então
\text{Area}(R)=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4 = 8.

Passo 6

Calcular a área da parte do plano usando a fórmula de área de superfície com o fator constante encontrado.
  • Como o fator é 3 e a área projetada é 8, a área da superfície é
\text{Area} = 3 \times 8 = 24.

Passo 7

Verificação alternativa (cheque com geometria vetorial, para ganhar confiança).
  • Tomamos os pontos A=(4,0,0), B=(0,4,0), C=(0,0,8).
  • Vetores das arestas a partir de A:
\vec{AB}=B-A = (-4,4,0),\qquad \vec{AC}=C-A = (-4,0,8).
  • Produto vetorial:
\vec{AB}\times\vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ -4 & 4 & 0 \\\\ -4 & 0 & 8 \end{vmatrix} = (32)\,\mathbf{i} -(-32)\,\mathbf{j} + (16)\,\mathbf{k} = (32,32,16).
  • Módulo:
\|\vec{AB}\times\vec{AC}\| = \sqrt{32^2+32^2+16^2} = \sqrt{1024+1024+256} = \sqrt{2304} = 48.
  • Área do triângulo:
\text{Area} = \tfrac{1}{2}\|\vec{AB}\times\vec{AC}\| = \tfrac{1}{2}\cdot 48 = 24,
confirmando o resultado anterior.

Resposta

24

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