Seja u(x, t) a função que fornece a temperatura em uma barra metálica de comprimento l=10, que possui as extremidades termicamente isoladas e encontra-se inicialmente com a temperatura dada por f(x)=x(10-x).
a) Escreva o problema de valor inicial e de contorno que representa o problema descrito acima.
b) Qual é a fórmula da solução do problema?
c) Encontre a distribuição “final” de temperatura na barra. Isto é, a distribuição de temperatura para t \rightarrow+\infty.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dados do problema:
    • comprimento da barra: \,l=10.
    • temperatura inicial: \;f(x)=x(10-x), para 0\le x\le 10.
    • extremidades termicamente isoladas (logo não há fluxo de calor nas extremidades).
    • função procurada: u(x,t) temperatura em posição x\in[0,10] e tempo t\ge0.
  • Perguntas:
    (a) Escrever o problema de valor inicial e de contorno que modela essa situação.
    (b) Dar a fórmula da solução u(x,t).
    (c) Encontrar a distribuição limite quando t\to+\infty.

Passo 2

Modelagem matemática (escrever o problema).
A equação do calor unidimensional com difusividade térmica constante \kappa>0 é
u_t=\kappa\,u_{xx},\qquad 0<x<10,\; t>0.
Condições de contorno (extremidades isoladas = derivada espacial nula, Neumann):
u_x(0,t)=0,\qquad u_x(10,t)=0,\qquad t>0.
Condição inicial:
u(x,0)=f(x)=x(10-x),\qquad 0\le x\le 10.
Este sistema (PDE + BCs de Neumann + IC) é o problema pedido em (a).

Passo 3

Escolha do método e ideia básica da solução.
Vamos usar separação de variáveis e expansão em série de cossenos (série de Fourier-cosseno) adequada para BCs de Neumann. A ideia: procurar soluções separáveis u(x,t)=X(x)T(t). Substituindo na PDE e dividindo por XT obtém-se a equação de autovalores espacial
\frac{T'}{\kappa T}=\frac{X''}{X}=-\lambda,
com X''+\lambda X=0 e condições X'(0)=X'(10)=0. As soluções e autovalores são:
  • modo constante (número de modo n=0): \lambda_0=0, X_0(x)=\text{const}.
  • para n\ge1: \lambda_n=\left(\dfrac{n\pi}{10}\right)^2, X_n(x)=\cos\!\big(\dfrac{n\pi x}{10}\big).
    Os fatores temporais correspondentes são T_n(t)=e^{-\kappa\lambda_n t}. Assim a solução geral por combinação linear é
u(x,t)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos\!\big(\tfrac{n\pi x}{10}\big)\,e^{-\kappa (n\pi/10)^2 t},
onde os coeficientes a_0 e a_n são determinados pela condição inicial.

Passo 4

Como obter os coeficientes (ortogonalidade) — fórmula das projeções.
Pela ortogonalidade das funções \{1,\cos(\tfrac{n\pi x}{10})\} em [0,10] vale:
a_0=\frac{1}{10}\int_{0}^{10} f(x)\,dx, \qquad a_n=\frac{2}{10}\int_{0}^{10} f(x)\cos\!\big(\tfrac{n\pi x}{10}\big)\,dx\quad(n\ge1).
Agora vamos calcular a_0 explicitamente usando f(x)=10x-x^2.

Passo 5

Cálculo de a_0.
Calcular a integral:
\int_{0}^{10} f(x)\,dx=\int_{0}^{10} (10x-x^2)\,dx =\Big[5x^2-\tfrac{x^3}{3}\Big]_{0}^{10} =5\cdot100-\tfrac{1000}{3}=\tfrac{500}{1}-\tfrac{1000}{3}=\tfrac{1500-1000}{3}=\tfrac{500}{3}.
Logo
a_0=\frac{1}{10}\cdot \frac{500}{3}=\frac{50}{3}.

Passo 6

Cálculo dos a_n (para n\ge1).
Precisamos calcular
I_n=\int_{0}^{10} (10x-x^2)\cos\!\big(\tfrac{n\pi x}{10}\big)\,dx.
Para facilitar, escreva \beta=\dfrac{n\pi}{10}. Usando antiderivadas por partes (ou fórmulas padrões):
\int_0^{10} x\cos(\beta x)\,dx = \Big[\frac{x\sin(\beta x)}{\beta}+\frac{\cos(\beta x)}{\beta^2}\Big]_0^{10} =10\frac{\sin(10\beta)}{\beta}+\frac{\cos(10\beta)-1}{\beta^2},
\int_0^{10} x^2\cos(\beta x)\,dx = \Big[\frac{x^2\sin(\beta x)}{\beta}+\frac{2x\cos(\beta x)}{\beta^2}-\frac{2\sin(\beta x)}{\beta^3}\Big]_0^{10} =10^2\frac{\sin(10\beta)}{\beta}+2\cdot10\frac{\cos(10\beta)}{\beta^2}-2\frac{\sin(10\beta)}{\beta^3}.
Como 10\beta=n\pi temos \sin(10\beta)=\sin(n\pi)=0 e \cos(10\beta)=\cos(n\pi)=(-1)^n. Substituindo:
I_n=10\Big( \frac{\cos(n\pi)-1}{\beta^2}\Big)-\Big(2\cdot10\frac{(-1)^n}{\beta^2}\Big) =\frac{-10\big((-1)^n+1\big)}{\beta^2}.
Agora usando \beta^2=(n\pi/10)^2=\dfrac{n^2\pi^2}{100} e
a_n=\frac{2}{10}I_n=\frac{1}{5}I_n,
obtemos
a_n=\frac{1}{5}\cdot\frac{-10\big((-1)^n+1\big)}{\beta^2} =-2\frac{(-1)^n+1}{\beta^2} =-200\frac{(-1)^n+1}{n^2\pi^2}.
Note que (-1)^n+1=0 se n é ímpar e =2 se n é par. Portanto:
  • para n ímpar: a_n=0;
  • para n par, escrevendo n=2m ( m\ge1):
a_{2m}=-200\frac{2}{(2m)^2\pi^2}=-\frac{400}{4m^2\pi^2}=-\frac{100}{m^2\pi^2}.

Passo 7

Escrever a solução final (fórmula).
Substituindo os coeficientes na série, e somando somente os termos pares n=2m, a solução pode ser escrita como
\boxed{\,u(x,t)=\frac{50}{3}-\frac{100}{\pi^2}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m^2}\cos\!\big(\tfrac{m\pi x}{5}\big)\,e^{-\kappa\,\tfrac{m^2\pi^2}{25}\,t}\,}
(esta expressão é equivalente à forma com soma em n com termos pares apenas).

Passo 8

Comportamento quando t\to+\infty.
Cada termo da soma contém o fator exponencial e^{-\kappa m^2\pi^2 t/25} que tende a zero quando t\to+\infty (para todo m\ge1). Logo a série decai e resta apenas o termo constante a_0. Portanto a distribuição de temperatura final é a constante igual à média inicial:
\lim_{t\to+\infty} u(x,t)=a_0=\frac{50}{3}\qquad\text{(constante em }x\text{).}
Físicamente isso condiz com conservação de energia na barra sem trocas nas extremidades: a temperatura tende para a média inicial.

Resposta

(a) \begin{cases} u_t=\kappa\,u_{xx}, & 0<x<10,\;t>0,\\[4pt] u_x(0,t)=0,\quad u_x(10,t)=0, & t>0,\\[4pt] u(x,0)=x(10-x), & 0\le x\le 10. \end{cases}
(b) u(x,t)=\frac{50}{3}-\frac{100}{\pi^2}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m^2}\cos\!\big(\tfrac{m\pi x}{5}\big)\,e^{-\kappa\,\tfrac{m^2\pi^2}{25}\,t}.
(c) \lim_{t\to+\infty}u(x,t)=\frac{50}{3}\quad\text{(constante em }x\text{).}]

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