Seja u(x, t) a função que fornece a temperatura em uma barra metálica de comprimento l=10, que possui as extremidades termicamente isoladas e encontra-se inicialmente com a temperatura dada por f(x)=x(10-x).
a) Escreva o problema de valor inicial e de contorno que representa o problema descrito acima.
b) Qual é a fórmula da solução do problema?
c) Encontre a distribuição “final” de temperatura na barra. Isto é, a distribuição de temperatura para t \rightarrow+\infty.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
Dados do problema:
comprimento da barra: \,l=10.
temperatura inicial: \;f(x)=x(10-x), para 0\le x\le 10.
extremidades termicamente isoladas (logo não há fluxo de calor nas extremidades).
função procurada: u(x,t) temperatura em posição x\in[0,10] e tempo t\ge0.
Perguntas:
(a) Escrever o problema de valor inicial e de contorno que modela essa situação.
(b) Dar a fórmula da solução u(x,t).
(c) Encontrar a distribuição limite quando t\to+\infty.
Passo 2
Modelagem matemática (escrever o problema).
A equação do calor unidimensional com difusividade térmica constante \kappa>0 é
u_t=\kappa\,u_{xx},\qquad 0<x<10,\; t>0.
Condições de contorno (extremidades isoladas = derivada espacial nula, Neumann):
u_x(0,t)=0,\qquad u_x(10,t)=0,\qquad t>0.
Condição inicial:
u(x,0)=f(x)=x(10-x),\qquad 0\le x\le 10.
Este sistema (PDE + BCs de Neumann + IC) é o problema pedido em (a).
Passo 3
Escolha do método e ideia básica da solução.
Vamos usar separação de variáveis e expansão em série de cossenos (série de Fourier-cosseno) adequada para BCs de Neumann. A ideia: procurar soluções separáveis u(x,t)=X(x)T(t). Substituindo na PDE e dividindo por XT obtém-se a equação de autovalores espacial
\frac{T'}{\kappa T}=\frac{X''}{X}=-\lambda,
com X''+\lambda X=0 e condições X'(0)=X'(10)=0. As soluções e autovalores são:
modo constante (número de modo n=0): \lambda_0=0, X_0(x)=\text{const}.
para n\ge1: \lambda_n=\left(\dfrac{n\pi}{10}\right)^2, X_n(x)=\cos\!\big(\dfrac{n\pi x}{10}\big).
Os fatores temporais correspondentes são T_n(t)=e^{-\kappa\lambda_n t}. Assim a solução geral por combinação linear é
(esta expressão é equivalente à forma com soma em n com termos pares apenas).
Passo 8
Comportamento quando t\to+\infty.
Cada termo da soma contém o fator exponencial e^{-\kappa m^2\pi^2 t/25} que tende a zero quando t\to+\infty (para todo m\ge1). Logo a série decai e resta apenas o termo constante a_0. Portanto a distribuição de temperatura final é a constante igual à média inicial:
\lim_{t\to+\infty} u(x,t)=a_0=\frac{50}{3}\qquad\text{(constante em }x\text{).}
Físicamente isso condiz com conservação de energia na barra sem trocas nas extremidades: a temperatura tende para a média inicial.