O que se pede (implícito) é encontrar a solução geral y(t) (todas as soluções, incluindo soluções constantes). Dados relevantes que já aparecem no enunciado:
A equação é autônoma (lado direito depende só de y, não de t).
O lado direito é o polinômio y-y^{3}, que pode ser fatorado como y(1-y^{2}).
Não foram dadas condições iniciais; precisa-se, portanto, da solução geral com uma constante de integração.
Passo 2
Identificar as soluções constantes (equilíbrios) primeiro: são os valores de y que tornam o lado direito zero. Solve:
Escrevendo em forma mais conveniente, definindo K=1/D (ou, equivalentemente, reorganizando a constante), obtemos
y^{2}=\frac{1}{1+K e^{-2t}},
onde K é uma constante real arbitrária (podendo ser positiva, negativa ou zero). Assim as soluções não-constantes satisfazem
y(t)=\pm\frac{1}{\sqrt{1+K e^{-2t}}},
onde o sinal \pm é fixado pela condição inicial (ou seja, a solução mantém o sinal).
Passo 8
Relacionando com as soluções constantes encontradas: se K=0 então y(t)=\pm 1 (as soluções constantes \pm 1). A solução y\equiv 0 corresponde ao caso degenerado obtido quando a constante D=0 na expressão anterior; ela deve ser listada separadamente. Em resumo, todas as soluções são:
y\equiv 0,
y\equiv 1,
y\equiv -1,
e as soluções não-constantes y(t)=\pm(1+K e^{-2t})^{-1/2} com K\in\mathbb{R} e o sinal escolhido conforme a condição inicial.
Passo 9
Comentário qualitativo rápido (útil para prova): a função f(y)=y-y^{3}=y(1-y^{2}) tem raízes em -1,0,1. O sinal de f determina o fluxo:
Para -1<y<0 temos f(y)<0 (soluções decrescem e tendem para -1).
Para 0<y<1 temos f(y)>0 (soluções crescem e tendem para 1).
Para y>1 ou y<-1 a direção também aponta para aproximar-se de \pm1 conforme o sinal; as soluções não-constantes tendem para \pm1 quando t\to+\infty e tendem para 0 quando t\to -\infty (dependendo da constante). Assim y=\pm1 são equilíbrios estáveis e y=0 é instável.
Resposta
y(t)\equiv 0 y(t)\equiv 1 y(t)\equiv -1 y(t)=\pm\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+K e^{-2t}}}, com K\in\mathbb{R} (constante de integração; o sinal \pm é fixado pela condição inicial).