Resolva a equação
\frac{d y}{d t}=y-y^{3} .

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária
\frac{dy}{dt}=y-y^{3}.
O que se pede (implícito) é encontrar a solução geral y(t) (todas as soluções, incluindo soluções constantes). Dados relevantes que já aparecem no enunciado:
  • A equação é autônoma (lado direito depende só de y, não de t).
  • O lado direito é o polinômio y-y^{3}, que pode ser fatorado como y(1-y^{2}).
  • Não foram dadas condições iniciais; precisa-se, portanto, da solução geral com uma constante de integração.

Passo 2

Identificar as soluções constantes (equilíbrios) primeiro: são os valores de y que tornam o lado direito zero. Solve:
y-y^{3}=0\quad\Longleftrightarrow\quad y(1-y^{2})=0.
Logo as soluções constantes são
y\equiv 0,\qquad y\equiv 1,\qquad y\equiv -1.
Essas três funções constantes já são soluções triviais da equação.

Passo 3

Para obter as demais soluções usamos separação de variáveis (método direto e adequado aqui porque a equação é separável): escrevemos
\frac{dy}{dt}=y(1-y^{2})\quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{y(1-y^{2})}=dt.
Agora vamos integrar ambos os lados; no lado esquerdo precisamos decompor a fração em frações parciais para integrar facilmente.

Passo 4

Fazemos a decomposição em frações parciais de
\frac{1}{y(1-y^{2})}=\frac{1}{y(1-y)(1+y)}.
Procuramos constantes A,B,C\) tais que \[\frac{1}{y(1-y)(1+y)}=\frac{A}{y}+\frac{B}{1-y}+\frac{C}{1+y}.
Multiplicando por y(1-y)(1+y) obtemos
1=A(1-y^{2})+By(1+y)+Cy(1-y).
Expandindo e agrupando termos obtemos o sistema (comparando coeficientes constantes, de y e de y^{2}):
\begin{cases} A=1,\\[4pt] B+C=0,\\[4pt] - A + B - C = 0. \end{cases}
Substituindo A=1\] e resolvendo \(B+C=0 e -1+B-C=0 B=\tfrac{1}{2} e C=-\tfrac{1}{2}. Portanto
\frac{1}{y(1-y^{2})}=\frac{1}{y}+\frac{1/2}{1-y}-\frac{1/2}{1+y}.]

Passo 5

Integramos ambos os lados:
\int\frac{dy}{y(1-y^{2})}=\int\left(\frac{1}{y}+\frac{1/2}{1-y}-\frac{1/2}{1+y}\right)dy.
Calcule as primitivas termo a termo (lembrando que \int \frac{1}{1-y}\,dy=-\ln|1-y|):
\int\frac{dy}{y(1-y^{2})}=\ln|y|-\frac{1}{2}\ln|1-y|-\frac{1}{2}\ln|1+y|+C,
onde C é constante de integração. Agrupando os logaritmos:
\ln|y|-\frac{1}{2}\ln|1-y^{2}|=t+C.

Passo 6

Simplificamos exponenciando para eliminar logs. Primeiro multiplicamos ambos os lados por 2:
2\ln|y|-\ln|1-y^{2}|=2t+C_1,
onde C_1=2C. Isso é
\ln\!\left(\frac{y^{2}}{1-y^{2}}\right)=2t+C_1.
Exponenciando,
\frac{y^{2}}{1-y^{2}}=D e^{2t},
onde D=e^{C_1} é uma constante arbitrária não nula (pode ser positiva ou negativa; D=0 corresponderia a y\equiv 0, já identificada antes).

Passo 7

Agora resolvemos algebricamente para y^{2}. Da igualdade anterior:
y^{2}=D e^{2t}\bigl(1-y^{2}\bigr)\quad\Longrightarrow\quad y^{2}\bigl(1+D e^{2t}\bigr)=D e^{2t}.
Portanto
y^{2}=\frac{D e^{2t}}{1+D e^{2t}}.
Escrevendo em forma mais conveniente, definindo K=1/D (ou, equivalentemente, reorganizando a constante), obtemos
y^{2}=\frac{1}{1+K e^{-2t}},
onde K é uma constante real arbitrária (podendo ser positiva, negativa ou zero). Assim as soluções não-constantes satisfazem
y(t)=\pm\frac{1}{\sqrt{1+K e^{-2t}}},
onde o sinal \pm é fixado pela condição inicial (ou seja, a solução mantém o sinal).

Passo 8

Relacionando com as soluções constantes encontradas: se K=0 então y(t)=\pm 1 (as soluções constantes \pm 1). A solução y\equiv 0 corresponde ao caso degenerado obtido quando a constante D=0 na expressão anterior; ela deve ser listada separadamente. Em resumo, todas as soluções são:
  • y\equiv 0,
  • y\equiv 1,
  • y\equiv -1,
  • e as soluções não-constantes y(t)=\pm(1+K e^{-2t})^{-1/2} com K\in\mathbb{R} e o sinal escolhido conforme a condição inicial.

Passo 9

Comentário qualitativo rápido (útil para prova): a função f(y)=y-y^{3}=y(1-y^{2}) tem raízes em -1,0,1. O sinal de f determina o fluxo:
  • Para -1<y<0 temos f(y)<0 (soluções decrescem e tendem para -1).
  • Para 0<y<1 temos f(y)>0 (soluções crescem e tendem para 1).
  • Para y>1 ou y<-1 a direção também aponta para aproximar-se de \pm1 conforme o sinal; as soluções não-constantes tendem para \pm1 quando t\to+\infty e tendem para 0 quando t\to -\infty (dependendo da constante). Assim y=\pm1 são equilíbrios estáveis e y=0 é instável.

Resposta

y(t)\equiv 0
y(t)\equiv 1
y(t)\equiv -1
y(t)=\pm\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+K e^{-2t}}}, com K\in\mathbb{R} (constante de integração; o sinal \pm é fixado pela condição inicial).

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