Encontre a solução do P. V.I.
, como série de potências.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução do problema de valor inicial (P.V.I.)
como série de potências centrada em
.
Informações dadas e o que se pede:
- A equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes polinomiais:
. - Condições iniciais:
e . - Objetivo: obter a solução
escrita como série de potências em torno de (ou seja, encontrar os coeficientes da série).
Passo 2
Ideia do método (sem resolver ainda): buscar uma solução na forma de série de potências em torno de
. Vamos explicar como trabalhar com séries e derivadas, porque isso é a base do método.
Suponha que exista solução expressável como
onde os
são constantes a determinar. Então as derivadas formais são obtidas termo a termo (isso é permitido dentro do raio de convergência):
Explicando detalhadamente: ao derivar
cada termo
vira
. Para reescrever as somas com a mesma potência
fazemos mudança de índice (por isso aparecem os termos com
ou
nas somas reindexadas).
Também relacionamos as condições iniciais com os coeficientes:
Isso já nos dá
e
.
Passo 3
Substituir as séries na equação diferencial e igualar coeficientes de potências de
.
Escrevendo cada termo na forma com potências
:
Reindexando o segundo somatório para termos em
: seja
, então
E o termo
é simplesmente
Somando tudo e igualando a zero:
Agora juntamos os somatórios, tomando cuidado com o termo
da segunda soma (que não existe). Para
obtemos a equação dos termos constantes; para
obtemos a relação geral. Vamos separar esses casos.
Passo 4
Caso
(coeficiente de
):
Do primeiro somatório vem .
Do segundo somatório não há termo para (começa em
).
Do terceiro somatório vem .
Portanto
Do primeiro somatório vem
Do segundo somatório não há termo para
Do terceiro somatório vem
Portanto
Usando
(condição inicial), obtemos
Passo 5
Caso geral
: coeficiente de
.
Do primeiro somatório:
.
Do segundo somatório: .
Do terceiro somatório: .
Do segundo somatório:
Do terceiro somatório:
Somando e igualando a zero:
Simplificando os termos com
:
Isolando
obtemos a recorrência para todos
:
Explicação do uso: essa fórmula relaciona coeficiente de ordem
com o coeficiente de ordem
. Assim, sabendo
e
, podemos determinar todos os coeficientes por saltos de dois (pares e ímpares separam-se).
Passo 6
Usar as condições iniciais
e
para obter explicitamente alguns coeficientes e ver o padrão.
Como a recorrência liga
a
, as sequências de coeficientes pares e ímpares são independentes. Como
, todas as componentes ímpares serão zero por recorrência (porque
depende de
,
de
, etc.). Logo
Agora os coeficientes pares (já temos
e
). Vamos calcular mais alguns usando a fórmula com
.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Portanto temos até aqui:
Passo 7
Expressar a solução como série usando os coeficientes encontrados; e dar uma fórmula geral para os coeficientes pares.
A solução é uma série só com potências pares (pois os ímpares são zero):
Uma fórmula conveniente para os coeficientes pares, obtida aplicando a recorrência repetidas vezes, é
com
. Aqui deixamos o produto vazio (quando
) igual a
, reproduzindo
.
Substituindo alguns termos iniciais que calculamos, a série começa por