Encontre a solução do P. V.I. y^{\prime \prime}+3 t y^{\prime}-y=0, \quad y(0)=2, \quad y^{\prime}(0)=0, como série de potências.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução do problema de valor inicial (P.V.I.)
y'' + 3t\,y' - y = 0,\qquad y(0)=2,\qquad y'(0)=0
como série de potências centrada em t=0.
Informações dadas e o que se pede:
  • A equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes polinomiais: y''+3t\,y'-y=0.
  • Condições iniciais: y(0)=2 e y'(0)=0.
  • Objetivo: obter a solução y(t) escrita como série de potências em torno de t=0 (ou seja, encontrar os coeficientes da série).

Passo 2

Ideia do método (sem resolver ainda): buscar uma solução na forma de série de potências em torno de 0. Vamos explicar como trabalhar com séries e derivadas, porque isso é a base do método.
Suponha que exista solução expressável como
y(t)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n t^n,
onde os a_n são constantes a determinar. Então as derivadas formais são obtidas termo a termo (isso é permitido dentro do raio de convergência):
y'(t)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n t^{\,n-1}=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)a_{n+1}t^{n},
y''(t)=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_n t^{\,n-2}=\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)a_{n+2}t^{n}.
Explicando detalhadamente: ao derivar \sum a_n t^n cada termo a_n t^n vira n a_n t^{n-1}. Para reescrever as somas com a mesma potência t^n fazemos mudança de índice (por isso aparecem os termos com n+1 ou n+2 nas somas reindexadas).
Também relacionamos as condições iniciais com os coeficientes:
y(0)=a_0=2, \qquad y'(0)=a_1=0.
Isso já nos dá a_0 e a_1.

Passo 3

Substituir as séries na equação diferencial e igualar coeficientes de potências de t.
Escrevendo cada termo na forma com potências t^n:
y''(t)=\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)a_{n+2}t^{n},
3t\,y'(t)=3t\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)a_{n+1}t^{n}=3\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)a_{n+1}t^{n+1}.
Reindexando o segundo somatório para termos em t^n: seja k=n+1, então
3t\,y'(t)=3\sum_{k=1}^{\infty} k a_k t^{k}=3\sum_{n=1}^{\infty} n a_n t^{n}.
E o termo -y é simplesmente
-y(t)=-\sum_{n=0}^{\infty} a_n t^{n}.
Somando tudo e igualando a zero:
\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)a_{n+2}t^{n} \;+\; 3\sum_{n=1}^{\infty} n a_n t^{n} \;-\; \sum_{n=0}^{\infty} a_n t^{n}=0.
Agora juntamos os somatórios, tomando cuidado com o termo n=0 da segunda soma (que não existe). Para n=0 obtemos a equação dos termos constantes; para n\ge1 obtemos a relação geral. Vamos separar esses casos.

Passo 4

Caso n=0 (coeficiente de t^0):
Do primeiro somatório vem (0+2)(0+1)a_2=2a_2.
Do segundo somatório não há termo para n=0 (começa em n=1).
Do terceiro somatório vem -a_0.
Portanto
2a_2 - a_0 = 0 \quad\Rightarrow\quad a_2 = \frac{a_0}{2}.
Usando a_0=2 (condição inicial), obtemos
a_2 = \frac{2}{2}=1.

Passo 5

Caso geral n\ge1: coeficiente de t^n.
Do primeiro somatório: (n+2)(n+1)a_{n+2}.
Do segundo somatório: 3 n a_n.
Do terceiro somatório: -a_n.
Somando e igualando a zero:
(n+2)(n+1)a_{n+2} + 3n a_n - a_n = 0.
Simplificando os termos com a_n:
(n+2)(n+1)a_{n+2} + (3n-1)a_n = 0.
Isolando a_{n+2} obtemos a recorrência para todos n\ge1:
a_{n+2} = -\frac{3n-1}{(n+2)(n+1)}\,a_n.
Explicação do uso: essa fórmula relaciona coeficiente de ordem n+2 com o coeficiente de ordem n. Assim, sabendo a_0 e a_1, podemos determinar todos os coeficientes por saltos de dois (pares e ímpares separam-se).

Passo 6

Usar as condições iniciais a_0=2 e a_1=0 para obter explicitamente alguns coeficientes e ver o padrão.
Como a recorrência liga a_{n+2} a a_n, as sequências de coeficientes pares e ímpares são independentes. Como a_1=0, todas as componentes ímpares serão zero por recorrência (porque a_3 depende de a_1, a_5 de a_3, etc.). Logo
a_{2k+1}=0\quad\text{para todo }k\ge0.
Agora os coeficientes pares (já temos a_0=2 e a_2=1). Vamos calcular mais alguns usando a fórmula com n=2,4,6,\ldots.
  • Para n=2:
a_4 = -\frac{3\cdot 2 -1}{(4)(3)}\,a_2 = -\frac{6-1}{12}\cdot a_2 = -\frac{5}{12}\cdot 1 = -\frac{5}{12}.
  • Para n=4:
a_6 = -\frac{3\cdot4 -1}{(6)(5)}\,a_4 = -\frac{12-1}{30}\cdot\left(-\frac{5}{12}\right) = -\frac{11}{30}\cdot\left(-\frac{5}{12}\right) = \frac{11\cdot 5}{30\cdot 12} = \frac{55}{360}=\frac{11}{72}.
  • Para n=6:
a_8 = -\frac{3\cdot6 -1}{(8)(7)}\,a_6 = -\frac{18-1}{56}\cdot\frac{11}{72} = -\frac{17}{56}\cdot\frac{11}{72} = -\frac{187}{4032}.
Portanto temos até aqui:
a_0=2,\quad a_1=0,\quad a_2=1,\quad a_3=0,\quad a_4=-\frac{5}{12},\quad a_5=0,\quad a_6=\frac{11}{72},\quad a_7=0,\quad a_8=-\frac{187}{4032},\ldots

Passo 7

Expressar a solução como série usando os coeficientes encontrados; e dar uma fórmula geral para os coeficientes pares.
A solução é uma série só com potências pares (pois os ímpares são zero):
y(t)=\sum_{k=0}^{\infty} a_{2k} t^{2k}.
Uma fórmula conveniente para os coeficientes pares, obtida aplicando a recorrência repetidas vezes, é
a_{2k}=a_0\prod_{j=0}^{k-1}\left(-\frac{6j-1}{(2j+2)(2j+1)}\right), \qquad k\ge1,
com a_{0}=2. Aqui deixamos o produto vazio (quando k=0) igual a 1, reproduzindo a_0.
Substituindo alguns termos iniciais que calculamos, a série começa por
y(t)=2 + 1\cdot t^{2} - \frac{5}{12}t^{4} + \frac{11}{72}t^{6} - \frac{187}{4032}t^{8} + \cdots.

Resposta

y(t)=2 + t^{2} - \frac{5}{12}t^{4} + \frac{11}{72}t^{6} - \frac{187}{4032}t^{8} + \cdots

Exercícios relacionados