Quais das afirmações a seguir são verdadeiras e quais são falsas?
Justifique sua resposta.
Se x<-5, então, x^{2}<-5 x.

Passo 1

O enunciado apresenta a implicação “se x < -5, então x^2 < -5x”. Vamos usar o conteúdo de inequações de segundo grau, fatoração e análise de sinais para verificar se essa desigualdade é satisfeita em todo o intervalo dado.

Passo 2

Transformar a desigualdade em forma padrão:
x^2 < -5x \quad\Longleftrightarrow\quad x^2 + 5x < 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x(x + 5) < 0.

Passo 3

Analisar o sinal do produto x(x + 5): ele é negativo quando os fatores têm sinais opostos, ou seja,
-5 < x < 0.

Passo 4

Comparar essa solução com a hipótese x < -5. Não há interseção entre -5 < x < 0 e x < -5, logo não existe valor em que x < -5 e simultaneamente x^2 < -5x. Por exemplo, para x = -6 temos
(-6)^2 = 36, \quad -5\cdot(-6)=30, \quad 36<30\text{ é falso}.é
Assim, a implicação falha.

Resposta

Falsa.

Exercícios relacionados