Quais das afirmações a seguir são verdadeiras e quais são falsas?
Justifique sua resposta.
Se x<1, então x^{2}<x.

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a veracidade da seguinte implicação sobre números reais:
\text{“Se }x<1\text{, então }x^2<x\text{.”}ã
O conteúdo envolve desigualdades e estudo do sinal de x ao quadrado.

Passo 2

Analise para 0<x<1.
Como x>0, podemos dividir a desigualdade x^2<x por x sem inverter o sinal, obtendo x<1, que é verdadeira nesse intervalo. Portanto, para todo x em (0,1) vale x^2<x.

Passo 3

Analise para x\le0.
Nesse caso x^2\ge0 e x\le0. Logo
x^2\ge0\ge x \quad\Longrightarrow\quad x^2\ge x,
ou seja, x^2<x é falsa. Por exemplo, se x=-1 temos (-1)^2=1\not< -1, e se x=0 temos 0\not<0.

Passo 4

Como a implicação falha quando x\le0, ela não é verdadeira para todo x<1. Só é válida no subintervalo (0,1).

Resposta

A afirmação é falsa (contraexemplo: x=-1 ou x=0).

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