[2.0pt ] Sejam
e
a esfera de raio 1 , centrada na origem e orientada para fora. Aproxime todos os valores de
de modo que o fluxo de
através de
seja 10 .
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede o fluxo de
através da esfera
de raio
centrada na origem, orientada para fora, igual a
. Usaremos o Teorema da Divergência para transformar o fluxo em um integral de volume.
Passo 2
Calculamos a divergência de
:
Passo 3
Pelo Teorema da Divergência, o fluxo é
onde
é a bola de raio
. Por simetria ímpar,
de modo que só resta
Passo 4
Impondo que esse fluxo seja
, escrevemos
Multiplicando ambos os lados por
e por
, obtemos a equação cúbica
Passo 5
Chamando
, a equação fica
Resolvendo numericamente esse polinômio de grau 3 encontramos três raízes reais.
Passo 6
Aproximando por métodos numéricos (p. ex. Newton ou tabela de sinais), as soluções são
Resposta
Os valores de
que satisfazem o fluxo igual a
são aproximadamente