[2.0pt ] Sejam
\mathbf{F}(x, y, z)=a^{2} x \mathbf{i}+(y / a) \mathbf{j}+a z^{2} \mathbf{k}
e S a esfera de raio 1 , centrada na origem e orientada para fora. Aproxime todos os valores de a de modo que o fluxo de \mathbf{F} através de S seja 10 .

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y,z)=a^{2}x\,\mathbf{i}+\frac{y}{a}\,\mathbf{j}+a\,z^{2}\,\mathbf{k}
e pede o fluxo de \mathbf{F} através da esfera S de raio 1 centrada na origem, orientada para fora, igual a 10. Usaremos o Teorema da Divergência para transformar o fluxo em um integral de volume.

Passo 2

Calculamos a divergência de \mathbf{F}:
\nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial}{\partial x}(a^{2}x) +\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{y}{a}\Bigr) +\frac{\partial}{\partial z}(a\,z^{2}) =a^{2}+\frac{1}{a}+2a\,z.

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência, o fluxo é
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS =\iiint_{V}(\nabla\cdot\mathbf{F})\,dV =\iiint_{V}\Bigl(a^{2}+\frac{1}{a}+2a\,z\Bigr)dV,
onde V é a bola de raio 1. Por simetria ímpar,
\iiint_{V}z\,dV=0,
de modo que só resta
\iiint_{V}\Bigl(a^{2}+\frac{1}{a}\Bigr)dV =\Bigl(a^{2}+\frac{1}{a}\Bigr)\mathrm{Vol}(V) =\Bigl(a^{2}+\frac{1}{a}\Bigr)\frac{4\pi}{3}.

Passo 4

Impondo que esse fluxo seja 10, escrevemos
\Bigl(a^{2}+\frac{1}{a}\Bigr)\frac{4\pi}{3}=10.
Multiplicando ambos os lados por \tfrac{3}{4\pi} e por a, obtemos a equação cúbica
a^{3}-\frac{15}{2\pi}\,a+1=0.

Passo 5

Chamando c=\tfrac{15}{2\pi}\approx2{,}3873, a equação fica
a^{3}-c\,a+1=0.
Resolvendo numericamente esse polinômio de grau 3 encontramos três raízes reais.

Passo 6

Aproximando por métodos numéricos (p. ex. Newton ou tabela de sinais), as soluções são
a\approx-1{,}724,\quad a\approx0{,}460,\quad a\approx1{,}264.

Resposta

Os valores de a que satisfazem o fluxo igual a 10 são aproximadamente
-1{,}724,\quad 0{,}460,\quad 1{,}264.

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