[2] ( 2,0 ptos)Ache três números cuja soma é 100 e cuja soma dos quadrados é mínima.
Passo 1
O enunciado pede que encontremos três números que satisfaçam duas coisas: (1) a soma dos três números é
, e (2) entre todos os triplos de números com essa soma, queremos aquele que minimiza a soma dos quadrados desses números. Informações dadas:
(soma fixa).
Queremos minimizar sob essa restrição.
A resolução começará a partir dessas condições.
Queremos minimizar
A resolução começará a partir dessas condições.
Passo 2
Vamos colocar variáveis explícitas para trabalhar com calma. Defino
como os três números procurados.
A função objetivo que queremos minimizar é
A função objetivo que queremos minimizar é
A restrição é
Nosso problema: encontrar
que satisfaçam a restrição e que tornem
o menor possível.
Passo 3
Uma ideia muito útil e simples para problemas assim é escrever a soma dos quadrados em termos das “distâncias” em relação à média dos números. Primeiro calculemos a média dos três números sob a restrição:
Agora vejamos a identidade que permite reescrever
em torno dessa média:
Vou mostrar passo a passo por que essa identidade é verdadeira: comece expandindo o lado direito.
Mas como
e
, temos
e
também, porque
. Em forma mais direta, usando
dá imediatamente que os termos em
cancelam, deixando
Portanto a identidade está correta.
Passo 4
A identidade do passo anterior nos dá uma forma muito clara para analisar o mínimo:
Observe que cada termo
,
e
é um quadrado real, logo é maior ou igual a zero. Isso implica que a soma desses três quadrados também é
. Portanto a menor possível contribuição desses três termos é
.
Passo 5
Para que a soma
seja
, cada termo deve ser zero individualmente. Assim a condição de mínimo é
ou seja
Usando
obtemos
Esse é o único ponto (para números reais) onde os três quadrados são simultaneamente zero, logo é o minimizador global.
Passo 6
Calculemos também o valor mínimo da soma dos quadrados, por completude:
Em forma decimal isso é aproximadamente
Passo 7
Breve observação didática extra (para fixar a ideia): o mesmo raciocínio funciona com qualquer quantidade de números
com soma fixa: a soma dos quadrados é mínima quando todos os números são iguais à média. Para dois números com soma
, por exemplo, a média é
e a soma dos quadrados mínima é
.
Passo 8
Força aí — se estiver na prova, escreva rapidamente: defina
, calcule a média
, escreva a identidade com os desvios ao quadrado, conclua que os desvios têm que ser zero e pronto: todos iguais a
. Respira, você consegue.