[2] ( 2,0 ptos)Ache três números cuja soma é 100 e cuja soma dos quadrados é mínima.

Passo 1

O enunciado pede que encontremos três números que satisfaçam duas coisas: (1) a soma dos três números é 100, e (2) entre todos os triplos de números com essa soma, queremos aquele que minimiza a soma dos quadrados desses números. Informações dadas:
x+y+z=100 (soma fixa).
Queremos minimizar x^{2}+y^{2}+z^{2} sob essa restrição.
A resolução começará a partir dessas condições.

Passo 2

Vamos colocar variáveis explícitas para trabalhar com calma. Defino
x,y,z como os três números procurados.
A função objetivo que queremos minimizar é
S(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}.
A restrição é
x+y+z=100.
Nosso problema: encontrar x,y,z que satisfaçam a restrição e que tornem S o menor possível.

Passo 3

Uma ideia muito útil e simples para problemas assim é escrever a soma dos quadrados em termos das “distâncias” em relação à média dos números. Primeiro calculemos a média dos três números sob a restrição:
m=\frac{x+y+z}{3}=\frac{100}{3}.
Agora vejamos a identidade que permite reescrever S em torno dessa média:
x^{2}+y^{2}+z^{2}=(x-m)^{2}+(y-m)^{2}+(z-m)^{2}+3m^{2}.
Vou mostrar passo a passo por que essa identidade é verdadeira: comece expandindo o lado direito.
(x-m)^{2}+(y-m)^{2}+(z-m)^{2}+3m^{2}
= (x^{2}-2mx+m^{2})+(y^{2}-2my+m^{2})+(z^{2}-2mz+m^{2})+3m^{2}
= x^{2}+y^{2}+z^{2}-2m(x+y+z)+6m^{2}.
Mas como x+y+z=100 e m=\dfrac{100}{3}, temos 2m(x+y+z)=2m\cdot 100=200m e 6m^{2}=200m também, porque 6m^{2}=6\cdot\left(\dfrac{100}{3}\right)^{2}=\dfrac{60000}{9}=\dfrac{200\cdot 100}{3}=200m. Em forma mais direta, usando m=\dfrac{x+y+z}{3} dá imediatamente que os termos em m cancelam, deixando
x^{2}+y^{2}+z^{2}.
Portanto a identidade está correta.

Passo 4

A identidade do passo anterior nos dá uma forma muito clara para analisar o mínimo:
S=(x-m)^{2}+(y-m)^{2}+(z-m)^{2}+3m^{2}.
Observe que cada termo (x-m)^{2}, (y-m)^{2} e (z-m)^{2} é um quadrado real, logo é maior ou igual a zero. Isso implica que a soma desses três quadrados também é \ge 0. Portanto a menor possível contribuição desses três termos é 0.

Passo 5

Para que a soma (x-m)^{2}+(y-m)^{2}+(z-m)^{2} seja 0, cada termo deve ser zero individualmente. Assim a condição de mínimo é
x-m=0,\qquad y-m=0,\qquad z-m=0,
ou seja
x=y=z=m.
Usando m=\dfrac{100}{3} obtemos
x=y=z=\frac{100}{3}.
Esse é o único ponto (para números reais) onde os três quadrados são simultaneamente zero, logo é o minimizador global.

Passo 6

Calculemos também o valor mínimo da soma dos quadrados, por completude:
S_{\min}=3m^{2}=3\left(\frac{100}{3}\right)^{2}=3\cdot\frac{10000}{9}=\frac{10000}{3}.
Em forma decimal isso é aproximadamente 3333{,}333\ldots

Passo 7

Breve observação didática extra (para fixar a ideia): o mesmo raciocínio funciona com qualquer quantidade de números n com soma fixa: a soma dos quadrados é mínima quando todos os números são iguais à média. Para dois números com soma 10, por exemplo, a média é 5 e a soma dos quadrados mínima é 5^{2}+5^{2}=50.

Passo 8

Força aí — se estiver na prova, escreva rapidamente: defina x,y,z, calcule a média 100/3, escreva a identidade com os desvios ao quadrado, conclua que os desvios têm que ser zero e pronto: todos iguais a 100/3. Respira, você consegue.

Resposta

\dfrac{100}{3},\dfrac{100}{3},\dfrac{100}{3}
S_{\min}=\dfrac{10000}{3}

Exercícios relacionados