Encontre os pontos de máximo, mínimo e de sela, caso existam, da função
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos de máximo, mínimo e de sela (se existirem) da função
Informações dadas:
é uma função polinomial de duas variáveis (grau 2). Preciso:
- determinar os pontos críticos (onde o gradiente é zero);
- classificar cada ponto crítico como máximo, mínimo ou sela usando derivadas segundas (Hessiano) ou outro teste adequado;
- informar o valor de
nesses pontos, se for o caso.
Passo 2
Vamos encontrar as derivadas parciais primeiras (o gradiente). Explicando a ideia: as derivadas parciais
e
mostram a taxa de variação de
quando mudamos
mantendo
fixo e quando mudamos
mantendo
fixo, respectivamente. Pontos críticos ocorrem onde ambas as derivadas parciais são zero simultaneamente.
Calculemos:
Derivando termo a termo:
Agora
:
Derivando termo a termo:
Passo 3
Os pontos críticos satisfazem o sistema
Vou resolver esse sistema passo a passo. A partir da segunda equação temos
Substituindo em
:
Calcule a fração:
Multiplicando tudo por
para eliminar o denominador:
Simplificando:
Logo
Agora calcule
:
Portanto o único ponto crítico é
Passo 4
Agora vamos classificar esse ponto crítico. Para isso usamos as derivadas segundas e o determinante do Hessiano. Explicando a ideia: o Hessiano é a matriz das derivadas segundas e fornece informação sobre a curvatura da função em torno do ponto; para duas variáveis o teste clássico é calcular
avaliado no ponto crítico. As regras (testes) são:
- se
e então mínimo local (e, para quadráticas definidas positivas, mínimo global); - se
e então máximo local; - se
então ponto de sela; - se
o teste é inconclusivo.
Calculemos as derivadas segundas (são constantes porque
é quadrática):
Montando o Hessiano:
Passo 5
Calculemos
:
Temos
e
. Pelo teste, o ponto crítico é um mínimo local. Como
é uma forma quadrática com matriz do quadrático (a parte de segundo grau) positiva definida (podemos ver que o principal menor de ordem 1 é
e o determinante da matriz do quadrático é
), esse mínimo é na verdade global:
quando
, então não há máximos globais.
Passo 6
Calculemos o valor mínimo
no ponto
. Substituindo na função passo a passo:
Somando (colocando tudo sobre
):
Portanto o valor mínimo é
.
Passo 7
Conclusão sobre existência de outros tipos de pontos:
- Não existe ponto de máximo (nem local nem global), porque o quadrático é positivo definido e a função tende a
em direções de grande norma. - Não existe ponto de sela, pois o único ponto crítico é um mínimo (e
).
Resposta
Máximo: nenhum.\nMínimo: ponto
com valor
.\nSela: nenhum.