Encontre os pontos de máximo, mínimo e de sela, caso existam, da função f(x, y)=4 x^{2}+y^{2}+3 x y+12 x+2 y+1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos de máximo, mínimo e de sela (se existirem) da função
f(x,y)=4x^{2}+y^{2}+3xy+12x+2y+1.
Informações dadas:
\;f é uma função polinomial de duas variáveis (grau 2). Preciso:
  • determinar os pontos críticos (onde o gradiente é zero);
  • classificar cada ponto crítico como máximo, mínimo ou sela usando derivadas segundas (Hessiano) ou outro teste adequado;
  • informar o valor de f nesses pontos, se for o caso.

Passo 2

Vamos encontrar as derivadas parciais primeiras (o gradiente). Explicando a ideia: as derivadas parciais \;f_x e \;f_y mostram a taxa de variação de f quando mudamos x mantendo y fixo e quando mudamos y mantendo x fixo, respectivamente. Pontos críticos ocorrem onde ambas as derivadas parciais são zero simultaneamente.
Calculemos:
f_x=\frac{\partial}{\partial x}\big(4x^{2}+y^{2}+3xy+12x+2y+1\big)
Derivando termo a termo:
f_x = 8x + 3y + 12.
Agora f_y:
f_y=\frac{\partial}{\partial y}\big(4x^{2}+y^{2}+3xy+12x+2y+1\big)
Derivando termo a termo:
f_y = 2y + 3x + 2.

Passo 3

Os pontos críticos satisfazem o sistema
\begin{cases} 8x + 3y + 12 = 0,\\[4pt] 3x + 2y + 2 = 0. \end{cases}
Vou resolver esse sistema passo a passo. A partir da segunda equação temos
2y = -3x - 2 \quad\Rightarrow\quad y = \frac{-3x - 2}{2}.
Substituindo em 8x + 3y + 12 = 0:
8x + 3\left(\frac{-3x - 2}{2}\right) + 12 = 0.
Calcule a fração:
8x + \frac{-9x - 6}{2} + 12 = 0.
Multiplicando tudo por 2 para eliminar o denominador:
16x + (-9x - 6) + 24 = 0.
Simplificando:
(16x - 9x) + (-6 + 24) = 0 \quad\Rightarrow\quad 7x + 18 = 0.
Logo
x = -\frac{18}{7}.
Agora calcule y:
y = \frac{-3x - 2}{2} = \frac{-3\left(-\frac{18}{7}\right) - 2}{2} = \frac{\frac{54}{7} - \frac{14}{7}}{2} = \frac{\frac{40}{7}}{2} = \frac{20}{7}.
Portanto o único ponto crítico é
\left(-\frac{18}{7},\;\frac{20}{7}\right).]

Passo 4

Agora vamos classificar esse ponto crítico. Para isso usamos as derivadas segundas e o determinante do Hessiano. Explicando a ideia: o Hessiano é a matriz das derivadas segundas e fornece informação sobre a curvatura da função em torno do ponto; para duas variáveis o teste clássico é calcular
D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^{2},
avaliado no ponto crítico. As regras (testes) são:
  • se D>0 e f_{xx}>0 então mínimo local (e, para quadráticas definidas positivas, mínimo global);
  • se D>0 e f_{xx}<0 então máximo local;
  • se D<0 então ponto de sela;
  • se D=0 o teste é inconclusivo.
Calculemos as derivadas segundas (são constantes porque f é quadrática):
f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}(8x+3y+12) = 8,
f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}(2y+3x+2) = 2,
f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}(8x+3y+12) = 3.
Montando o Hessiano:
\text{Hessiano } H = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\[4pt] f_{xy} & f_{yy} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 3 \\[4pt] 3 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Calculemos D:
D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^{2} = 8\cdot 2 - 3^{2} = 16 - 9 = 7.
Temos D = 7 > 0 e f_{xx} = 8 > 0. Pelo teste, o ponto crítico é um mínimo local. Como f é uma forma quadrática com matriz do quadrático (a parte de segundo grau) positiva definida (podemos ver que o principal menor de ordem 1 é 8>0 e o determinante da matriz do quadrático é 7>0), esse mínimo é na verdade global: f(x,y)\to +\infty quando x,y\to\infty, então não há máximos globais.

Passo 6

Calculemos o valor mínimo f no ponto \left(-\dfrac{18}{7},\dfrac{20}{7}\right). Substituindo na função passo a passo:
4x^{2}=4\left(-\frac{18}{7}\right)^{2}=4\cdot\frac{324}{49}=\frac{1296}{49},
y^{2}=\left(\frac{20}{7}\right)^{2}=\frac{400}{49},
3xy=3\cdot\left(-\frac{18}{7}\right)\cdot\left(\frac{20}{7}\right)=\frac{-1080}{49},
12x=12\cdot\left(-\frac{18}{7}\right)= -\frac{216}{7} = -\frac{1512}{49},
2y=2\cdot\frac{20}{7}=\frac{40}{7} = \frac{280}{49},
1 = \frac{49}{49}.
Somando (colocando tudo sobre 49):
\frac{1296 + 400 - 1080 - 1512 + 280 + 49}{49} = \frac{-567}{49} = -\frac{81}{7}.
Portanto o valor mínimo é -\dfrac{81}{7}.

Passo 7

Conclusão sobre existência de outros tipos de pontos:
  • Não existe ponto de máximo (nem local nem global), porque o quadrático é positivo definido e a função tende a +\infty em direções de grande norma.
  • Não existe ponto de sela, pois o único ponto crítico é um mínimo (e D>0).

Resposta

Máximo: nenhum.\nMínimo: ponto \left(-\dfrac{18}{7},\dfrac{20}{7}\right) com valor f=-\dfrac{81}{7}.\nSela: nenhum.

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