[4] Achar o volume do corpo limitado pelo parabolóide elíptico
, pelo plano
e pelos planos coordenados.
Passo 1
O enunciado dá as superfícies que limitam um corpo e pede o volume desse corpo. Informações dadas:
o plano
e os planos coordenados (isto é, os planos
).
Pergunta: calcular o volume do corpo limitado por essas superfícies.
Pergunta: calcular o volume do corpo limitado por essas superfícies.
Observação importante (para não ficar confuso): como os “planos coordenados” foram citados no plural, interpretamos que os três planos coordenados estão presentes, ou seja, também o plano
. Assim o corpo é o sólido sobre a região triangular do plano
limitada por
e abaixo pela superfície
(ou seja, o sólido entre
e
acima dessa região triangular).
Passo 2
Estratégia e fundamento teórico (passo-a-passo didático): para calcular o volume de um sólido que está entre o plano
(base) e a superfície
sobre uma região
do plano
, usamos a fórmula
Aqui
. Explico o porquê: imagine uma pequena região de área
em
; acima dela o sólido tem altura aproximadamente
, logo o volume desse pequeno paralelepípedo é
. Somando (integrando) sobre toda
obtemos o volume total.
Portanto vamos projetar o sólido no plano
e calcular
onde
é o triângulo definido por
.
Passo 3
Descrever a região
e escolher ordem de integração: a projeção
é o triângulo com vértices
,
,
. Uma descrição conveniente é:
Assim escolhemos integrar primeiro em
e depois em
. O integral fica
Passo 4
Calcular o integral interno (integrando em
). Vamos separar os termos para facilitar:
Agora cada termo:
-
.
Integral deé . Então
-
. Aqui é tratado como constante em relação a , logo
-
. É simplesmente o comprimento do intervalo:
Somando os três resultados obtemos a integral interna como função de
:
Passo 5
Agora integramos em
de
a
:
Para simplificar, vou separar em três integrais:
Calcule cada um:
A)
. Faça a substituição
ou note que é igual a
. Logo
B)
.
Integral de é
e de
é
. Avaliando de
a
:
Integral de
C)
Passo 6
Somar os três resultados:
Calcule passo a passo:
. Então
Interpretação final rápida: o volume do sólido limitado pelo parabolóide
, pelo plano
e pelos planos coordenados
é
.