[4] Achar o volume do corpo limitado pelo parabolóide elíptico z=2 x^{2}+y^{2}+1, pelo plano x+y=1 e pelos planos coordenados.

Passo 1

O enunciado dá as superfícies que limitam um corpo e pede o volume desse corpo. Informações dadas:
z=2x^{2}+y^{2}+1
o plano
x+y=1
e os planos coordenados (isto é, os planos \;x=0,\;y=0,\;z=0\;).
Pergunta: calcular o volume do corpo limitado por essas superfícies.
Observação importante (para não ficar confuso): como os “planos coordenados” foram citados no plural, interpretamos que os três planos coordenados estão presentes, ou seja, também o plano \;z=0\;. Assim o corpo é o sólido sobre a região triangular do plano xy limitada por \;x=0,\;y=0,\;x+y=1\; e abaixo pela superfície \;z=2x^{2}+y^{2}+1\; (ou seja, o sólido entre \;z=0\; e \;z=2x^{2}+y^{2}+1\; acima dessa região triangular).

Passo 2

Estratégia e fundamento teórico (passo-a-passo didático): para calcular o volume de um sólido que está entre o plano \;z=0\; (base) e a superfície \;z=f(x,y)\; sobre uma região R do plano xy, usamos a fórmula
V=\iint_{R} f(x,y)\,dA.
Aqui f(x,y)=2x^{2}+y^{2}+1. Explico o porquê: imagine uma pequena região de área \Delta A em R; acima dela o sólido tem altura aproximadamente f(x,y), logo o volume desse pequeno paralelepípedo é f(x,y)\Delta A. Somando (integrando) sobre toda R obtemos o volume total.
Portanto vamos projetar o sólido no plano xy e calcular
V=\iint_{R} \big(2x^{2}+y^{2}+1\big)\,dA,
onde R é o triângulo definido por \;x\ge0,\;y\ge0,\;x+y\le1\;.

Passo 3

Descrever a região R e escolher ordem de integração: a projeção R é o triângulo com vértices (0,0), (1,0), (0,1). Uma descrição conveniente é:
0\le y\le 1,\qquad 0\le x\le 1-y.
Assim escolhemos integrar primeiro em x e depois em y. O integral fica
V=\int_{y=0}^{1}\int_{x=0}^{\,1-y}\big(2x^{2}+y^{2}+1\big)\,dx\,dy.

Passo 4

Calcular o integral interno (integrando em x). Vamos separar os termos para facilitar:
\int_{x=0}^{1-y}\big(2x^{2}+y^{2}+1\big)\,dx =2\int_{0}^{1-y}x^{2}\,dx+\int_{0}^{1-y}y^{2}\,dx+\int_{0}^{1-y}1\,dx.
Agora cada termo:
  1. \displaystyle 2\int_{0}^{1-y}x^{2}\,dx.
    Integral de x^{2} é \displaystyle \frac{x^{3}}{3}. Então
2\int_{0}^{1-y}x^{2}\,dx=2\cdot\frac{(1-y)^{3}}{3}=\frac{2}{3}(1-y)^{3}.
  1. \displaystyle \int_{0}^{1-y}y^{2}\,dx. Aqui y é tratado como constante em relação a x, logo
\int_{0}^{1-y}y^{2}\,dx = y^{2}\big[x\big]_{0}^{1-y}=y^{2}(1-y).
  1. \displaystyle \int_{0}^{1-y}1\,dx. É simplesmente o comprimento do intervalo:
\int_{0}^{1-y}1\,dx = 1-y.
Somando os três resultados obtemos a integral interna como função de y:
\frac{2}{3}(1-y)^{3}+y^{2}(1-y)+(1-y).

Passo 5

Agora integramos em y de 0 a 1:
V=\int_{0}^{1}\left[\frac{2}{3}(1-y)^{3}+y^{2}(1-y)+(1-y)\right]dy.
Para simplificar, vou separar em três integrais:
V=\frac{2}{3}\int_{0}^{1}(1-y)^{3}dy+\int_{0}^{1}y^{2}(1-y)dy+\int_{0}^{1}(1-y)dy.
Calcule cada um:
A) \displaystyle \int_{0}^{1}(1-y)^{3}dy. Faça a substituição u=1-y ou note que é igual a \int_{0}^{1}u^{3}du=\frac{1}{4}. Logo
\frac{2}{3}\int_{0}^{1}(1-y)^{3}dy=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{4}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}.
B) \displaystyle \int_{0}^{1}y^{2}(1-y)dy=\int_{0}^{1}(y^{2}-y^{3})dy.
Integral de y^{2} é \frac{y^{3}}{3} e de y^{3} é \frac{y^{4}}{4}. Avaliando de 0 a 1:
\int_{0}^{1}(y^{2}-y^{3})dy=\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)=\frac{4-3}{12}=\frac{1}{12}.
C) \displaystyle \int_{0}^{1}(1-y)dy=\Big[y-\frac{y^{2}}{2}\Big]_{0}^{1}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.

Passo 6

Somar os três resultados:
V=\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{2}.
Calcule passo a passo: \frac{1}{6}+\frac{1}{12}=\frac{2}{12}+\frac{1}{12}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}. Então
V=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}.
Interpretação final rápida: o volume do sólido limitado pelo parabolóide \;z=2x^{2}+y^{2}+1, pelo plano \;x+y=1\; e pelos planos coordenados \;x=0,\;y=0,\;z=0\; é \tfrac{3}{4}.

Resposta

\dfrac{3}{4}

Exercícios relacionados