[2,0 pts ] Aplicando o método de Laplace encontre a solução do PVI de segunda ordem:
l y^prime prime(t)+y(t) equiv cos (t)-sen(2 t) y(pi / 2)=0 e y^prime(pi / 2)=0

Passo 1

O enunciado pede a solução do PVI
y''(t)+y(t)=cos t - sen(2t), yl(tfracpi2r)=0, y'l(tfracpi2r)=0,
usando transformada de Laplace. Como as condições iniciais estão em t=tfracpi2, faremos uma mudança de variável para colocar as condições em zero.

Passo 2

Definimos
s = t - tfracpi2, u(s) = yl(s + tfracpi2r)
Então u(0)=y(tfracpi2)=0 e u'(0)=y'(tfracpi2)=0. Como ddt=dds, a equação vira
u''(s)+u(s) =cosl(s+tfracpi2r)-senl(2(s+tfracpi2)r)
Usamos
cos(s+tfracpi2)=-sen s e sen(2s+pi)=-sen(2s), logo o lado direito é
-sen s -l(-sen(2s)r) =-sen s + sen(2s)
Portanto o PVI para u fica
u''(s)+u(s)=-sen s + sen(2s), u(0)=0, u'(0)=0

Passo 3

Aplicamos a transformada de Laplace em . Chamando , tem-se
então
Agrupando,

Passo 4

Precisamos inverter . Primeiro
Então
Depois, fazemos frações parciais:
Logo
Invertendo,
Portanto a segunda parte é

Passo 5

Somando as duas inversões obtemos
u(s) =-tfrac12,sen s + tfrac s2,cos s ;+;tfrac23,sen s - tfrac13,sen(2s) =tfrac16,sen s + tfrac s2,cos s - tfrac13,sen(2s)
Voltando à variável original t=s+tfracpi2, temos s=t-tfracpi2. Usamos
sen(t-tfracpi2)=-cos t,
cos(t-tfracpi2)=sen t e
senl(2(t-tfracpi2)r)=-sen(2t).
Assim
y(t) =ul(t-tfracpi2r) =tfrac16l(-cos tr) +tfract-tfracpi22,sen t -tfrac13l(-sen(2t)r),
y(t) =-tfrac16,cos t +tfract-tfracpi22,sen t +tfrac13,sen(2t)

Resposta

boxed y(t) =-16cos t +t-tfracpi22,sen t +13,sen(2t)

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