Determine se a sequência an é convergente ou divergente. Em caso de convergência, determine o limite.
an=n!10^6 n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da sequência
an = n!10^6n
ou seja, queremos saber se existe
limntoinfty an,
e em caso afirmativo calcular esse limite. O que vamos usar é o teste da razão para sequências, que compara an+1 com an.

Passo 2

Calculemos a razão
an+1an = tfrac(n+1)!10^6(n+1)tfracn!10^6n = (n+1)!;10^6nn!;10^6(n+1) = n+110^6

Passo 3

Observe que
n+110^6longrightarrowinfty quando ntoinfty,
e em particular, para todo n>=10^6 temos tfracan+1an>1. Isso significa que a sequência, a partir de um certo termo, cresce monotonamente e sem limite superior.

Passo 4

Como a razão fica maior que 1 a partir de n grande, os termos an não tendem a zero nem a um número finito: eles crescem sem parar. Portanto, não há convergência finita.

Resposta

A sequência an diverge (mais precisamente, diverge para +infty), logo não existe limite finito.

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