[2,0 pts] Usando o método de Laplace encontre a função incógnita y(t) que satisfaz o pvi
c y^prime prime(t)-5 y^prime(t)+6 y(t) equiv-10 e^2 t y(0)=0 ; y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI de segunda ordem
y''(t)-5,y'(t)+6,y(t)=-10e^2t, y(0)=0, y'(0)=0
usando transformada de Laplace. Vamos usar que
  1. Ly'(s)=sY(s)-y(0),
  2. Ly''(s)=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0),
  3. Le^at(s)=1/(s-a).

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace à EDO com as condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0, obtemos
s^2Y(s)-0-0 ;-;5l(sY(s)-0r);+;6Y(s) =;-10,1s-2
Ou seja,
l(s^2-5s+6r),Y(s) =-10s-2

Passo 3

Como s^2-5s+6=(s-2)(s-3), isolamos
Y(s) =-10(s-2)(s-3);1s-2 =-10(s-2)^2,(s-3)

Passo 4

Fazemos decomposição em frações parciais
-10(s-2)^2(s-3) =As-3+Bs-2+C(s-2)^2
Multiplicando por (s-2)^2(s-3)
-10=A(s-2)^2+B(s-2)(s-3)+C(s-3)
Expandindo e igualando coeficientes de s^2,s,1 resulta em
A+B=0, A+C=0, A= -10,
de onde
A=-10, B=10, C=10

Passo 5

Agora invertendo termo a termo:
Y(s) =-10s-3+10s-2+10(s-2)^2 ;longrightarrow; y(t) =-10e^3t+10e^2t+10,t,e^2t

Resposta

y(t)=-10e^3t+10e^2t+10t,e^2t

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