Usando a Transf. de Laplace resolva o pvi do sistema 2 times 2
l x^prime(t) equiv 4 x(t)-5 y(t) y^prime(t) equiv 5 x(t)-4 y(t) x(0)=0 e y(0)=8

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de ordem 1 em duas variáveis,
x'(t)=4x(t)-5y(t), y'(t)=5x(t)-4y(t),
com condições iniciais x(0)=0 e y(0)=8, e pede para resolver usando transformada de Laplace.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em cada equação, usando X(s)= Lx(t) e Y(s)= Ly(t) e Lx'(t)=sX(s)-x(0), Ly'(t)=sY(s)-y(0). Assim:
sX(s)-0 = 4X(s)-5Y(s),
sY(s)-8 = 5X(s)-4Y(s)

Passo 3

Reescrevendo em forma padrão:
(s-4)X(s) +5Y(s)=0,
-5X(s)+(s+4)Y(s)=8
O determinante é
De<a = (s-4)(s+4)+5cdot5 = s^2-16+25 = s^2+9

Passo 4

Pelo método de Cramer:
X(s) = 0 & 58 & s+4De<a = -40s^2+9, Y(s) = s-4 & 0-5 & 8De<a = 8(s-4)s^2+9 = 8s-32s^2+9

Passo 5

Voltamos ao domínio do tempo usando tabelas:
L^-1!1s^2+9 = 13sin(3t), L^-1!ss^2+9 = cos(3t)
Logo,
x(t) = -40cdot13sin(3t) = -403sin(3t),
y(t) = 8,cos(3t) -32cdot13sin(3t) = 8cos(3t)-323sin(3t)

Resposta

x(t) = -403sin(3t)
y(t) = 8cos(3t) - 323sin(3t)

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