[2,0 pts] Aplique o método da Transformada de Laplace para encontrar a função incógnita y(t) que satisfaz o P.V.I:
c y^prime prime(t)-3 y^prime(t)+2 y(t) equiv 8 e^3 t y(0)=1 ; y^prime(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y''(t)-3y'(t)+2y(t)=8e^3t, y(0)=1, y'(0)=2
usando a Transformada de Laplace. Vamos usar as propriedades
Ly'=sY(s)-y(0) e Ly''=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0).

Passo 2

Aplicando Laplace em ambos os lados,
l[s^2Y(s)-scdot1-2r]-3l[sY(s)-1r]+2Y(s) =8s-3
Desenvolvendo os termos:
s^2Y(s)-s-2-3sY(s)+3+2Y(s) =8s-3

Passo 3

Agrupando Y(s) e os termos livres:
l(s^2-3s+2r)Y(s)+(-s+1) =8s-3,
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Y(s) =8/(s-3)+s-1(s-1)(s-2)
Separamos em
Y(s) =s-1(s-1)(s-2) +8(s-1)(s-2)(s-3) =1s-2 +8(s-1)(s-2)(s-3)

Passo 4

Fazendo frações parciais em 8(s-1)(s-2)(s-3)= As-1+Bs-2+Cs-3:
8=A(s-2)(s-3)+B(s-1)(s-3)+C(s-1)(s-2)
Tomando s=1,2,3 obtemos A=4, B=-8, C=4. Assim
Y(s)=1s-2+4s-1-8s-2+4s-3 = 4s-1-7s-2+4s-3

Passo 5

Aplicando a transformada inversa em cada termo:
y(t) =4e^t-7e^2t+4e^3t

Resposta

y(t)=4e^t-7e^2t+4e^3t

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