[1,5 pt.] 3) Descreva 03 (tres) outras ordens de integração distintas, além da ordem dada, para a integral
Passo 1
O enunciado pede: descrever 03 (três) outras ordens de integração distintas, além da ordem dada, para a integral
Informações fornecidas (tiradas do enunciado):
- A variável externa
varia de a : . - Para cada
fixo, varia de até : . - Para cada
e fixos, varia de até : .
O que se pede: escrever três integrais equivalentes com ordens de integração diferentes da original (que é).
Passo 2
Vamos primeiro entender bem a região de integração
no espaço
descrevendo-a por desigualdades. A partir dos limites dados temos:
Isto é, um ponto
pertence a
exatamente quando essas três desigualdades são satisfeitas ao mesmo tempo.
Passo 3
Para trocar a ordem de integração é útil obter projeções de
em planos coordenados e relações entre variáveis. Primeiro a projeção no plano
(eliminar
). Dado que existe
com
,
e
, a condição que permanece relacionando
e
é
(pois deve existir algum
e tal que
, o que exige
). Assim a projeção no plano
é
Uma forma equivalente (invertendo a ordem) é
Passo 4
Projeção no plano
(eliminar
). Da condição
e
decorre que existe
tal que
e
. Como isso é possível sempre que
e
, a desigualdade adicional que vem diretamente das faixas é
(pois no conjunto original sempre temos
). Assim a projeção no plano
é
Passo 5
Projeção no plano
(eliminar
) já vem direto do enunciado:
Passo 6
Agora vamos construir três ordens de integração diferentes, sempre garantindo que as desigualdades representem a mesma região
. Lembrete prático de como proceder: ao escolher uma ordem (por exemplo
), fixam-se as variáveis exteriores e expressam-se os limites da variável interior em função das exteriores, usando as desigualdades que definem
.
Primeira ordem proposta: integrar em
primeiro, depois
, por fim
(ordem
).
- Para
fixo (com ), quais são os possíveis ? Como em temos para algum , necessariamente e também . Logo varia de até : . - Para
e fixos, deve satisfazer simultaneamente (da condição original) e (porque equivale a ). Portanto o limite inferior para é ; o superior é .
Assim a integral fica
Passo 7
Segunda ordem proposta: integrar em
primeiro, depois
, por fim
(ordem
).
- Pela projeção no plano
já temos que, para cada , varia de até : . - Para
e fixos (com ), a condição sobre é (porque e também , mas como o máximo admissível de é ). Logo .
Portanto
Passo 8
Terceira ordem proposta: integrar em
primeiro, depois
, por fim
(ordem
).
- Pela projeção no plano
em forma , para cada temos variando de até . - Para
e fixos com , a condição sobre é (novamente e , e como o teto é ).
Portanto