[1,5 pt.] 3) Descreva 03 (tres) outras ordens de integração distintas, além da ordem dada, para a integral
\int_{0}^{1} \int_{z^{2}}^{1} \int_{z}^{\sqrt{y}} f(x, y, z) d x d y d z

Passo 1

O enunciado pede: descrever 03 (três) outras ordens de integração distintas, além da ordem dada, para a integral
\int_{0}^{1} \int_{z^{2}}^{1} \int_{z}^{\sqrt{y}} f(x, y, z)\,dx\,dy\,dz.
Informações fornecidas (tiradas do enunciado):
  • A variável externa z varia de 0 a 1: 0 \le z \le 1.
  • Para cada z fixo, y varia de z^{2} até 1: z^{2} \le y \le 1.
  • Para cada z e y fixos, x varia de z até \sqrt{y}: z \le x \le \sqrt{y}.
    O que se pede: escrever três integrais equivalentes com ordens de integração diferentes da original (que é dx\,dy\,dz).

Passo 2

Vamos primeiro entender bem a região de integração D no espaço (x,y,z) descrevendo-a por desigualdades. A partir dos limites dados temos:
D=\{(x,y,z)\mid 0\le z\le 1,\; z^{2}\le y\le 1,\; z\le x\le \sqrt{y}\}.
Isto é, um ponto (x,y,z) pertence a D exatamente quando essas três desigualdades são satisfeitas ao mesmo tempo.

Passo 3

Para trocar a ordem de integração é útil obter projeções de D em planos coordenados e relações entre variáveis. Primeiro a projeção no plano xy (eliminar z). Dado que existe z com 0\le z\le 1, z\le x e z^{2}\le y, a condição que permanece relacionando x e y é x\le \sqrt{y} (pois deve existir algum z\le x e tal que z^{2}\le y, o que exige x\le\sqrt{y}). Assim a projeção no plano xy é
0\le y\le 1,\qquad 0\le x\le \sqrt{y}.
Uma forma equivalente (invertendo a ordem) é
0\le x\le 1,\qquad x^{2}\le y\le 1.

Passo 4

Projeção no plano xz (eliminar y). Da condição z^{2}\le y e x\le\sqrt{y} decorre que existe y tal que y\ge \max(z^{2},x^{2}) e y\le 1. Como isso é possível sempre que 0\le x\le 1 e 0\le z\le 1, a desigualdade adicional que vem diretamente das faixas é x\ge z (pois no conjunto original sempre temos x\ge z). Assim a projeção no plano xz é
0\le z\le x\le 1.

Passo 5

Projeção no plano yz (eliminar x) já vem direto do enunciado:
0\le z\le 1,\qquad z^{2}\le y\le 1.

Passo 6

Agora vamos construir três ordens de integração diferentes, sempre garantindo que as desigualdades representem a mesma região D. Lembrete prático de como proceder: ao escolher uma ordem (por exemplo d\!y\,d\!x\,d\!z), fixam-se as variáveis exteriores e expressam-se os limites da variável interior em função das exteriores, usando as desigualdades que definem D.
Primeira ordem proposta: integrar em y primeiro, depois x, por fim z (ordem d\!y\,d\!x\,d\!z).
  • Para z fixo (com 0\le z\le 1), quais são os possíveis x? Como em D temos z\le x\le \sqrt{y} para algum y, necessariamente x\ge z e também x\le 1. Logo x varia de z até 1: z\le x\le 1.
  • Para z e x fixos, y deve satisfazer simultaneamente y\ge z^{2} (da condição original) e y\ge x^{2} (porque x\le\sqrt{y} equivale a y\ge x^{2}). Portanto o limite inferior para y é \max(z^{2},x^{2}); o superior é 1.
    Assim a integral fica
\int_{z=0}^{1}\int_{x=z}^{1}\int_{y=\max(z^{2},\,x^{2})}^{1} f(x,y,z)\,dy\,dx\,dz.

Passo 7

Segunda ordem proposta: integrar em z primeiro, depois x, por fim y (ordem d\!z\,d\!x\,d\!y).
  • Pela projeção no plano xy já temos que, para cada y, x varia de 0 até \sqrt{y}: 0\le x\le \sqrt{y}.
  • Para x e y fixos (com x\le\sqrt{y}), a condição sobre z é 0\le z\le x (porque z\le x e também z\le\sqrt{y}, mas como x\le\sqrt{y} o máximo admissível de z é x). Logo 0\le z\le x.
    Portanto
\int_{y=0}^{1}\int_{x=0}^{\sqrt{y}}\int_{z=0}^{x} f(x,y,z)\,dz\,dx\,dy.

Passo 8

Terceira ordem proposta: integrar em z primeiro, depois y, por fim x (ordem d\!z\,d\!y\,d\!x).
  • Pela projeção no plano xy em forma 0\le x\le 1,\; x^{2}\le y\le 1, para cada x\in[0,1] temos y variando de x^{2} até 1.
  • Para x e y fixos com y\ge x^{2}, a condição sobre z é 0\le z\le x (novamente z\le x e z\le\sqrt{y}, e como x\le\sqrt{y} o teto é x).
    Portanto
\int_{x=0}^{1}\int_{y=x^{2}}^{1}\int_{z=0}^{x} f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx.

Resposta

\int_{0}^{1}\int_{z}^{1}\int_{\max(z^{2},\,x^{2})}^{1} f(x,y,z)\,dy\,dx\,dz
\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{y}}\int_{0}^{x} f(x,y,z)\,dz\,dx\,dy
\int_{0}^{1}\int_{x^{2}}^{1}\int_{0}^{x} f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx

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