[2 pts] Calcule a coordenada \bar{y} do centroide da placa por integração.
\text { Dados: área da placa } A=\frac{96}{5} \mathrm{~m}^{2} \text {. }á
Dica: Use y=f(x).
Formulário: \quad \int x^{n} d x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C

Passo 1

O enunciado pede para calcular a coordenada \bar{y} do centroide da placa por integração. Informações e dados relevantes extraídos do enunciado e da figura:
  • A função que descreve a borda superior da placa, retirada da imagem, é \;y = x^{2/3}.)
  • A placa está contida entre o eixo x (linha inferior), a curva \;y = x^{2/3}, e as retas verticais em x=0 e x=8 (o eixo x vai de 0 a 8 m na figura).
  • O ponto na direita tem altura \;y(8)=8^{2/3}=4 (verificado na figura).
  • A área da placa, fornecida no enunciado, é \;A=\dfrac{96}{5}\\ \mathrm{m}^2.
  • A questão solicita apenas \bar{y}, a coordenada y do centroide.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática, sem pular etapas):
  • Para uma placa de espessura/ densidade constantes limitada abaixo pelo eixo x e acima pela função \;y=f(x) no intervalo [a,b], podemos usar tiras verticais de largura \;dx como elementos de área. Cada tira tem área elementar
dA = f(x)\,dx,
porque a altura da tira é f(x) e a largura é dx.
  • O momento da área em relação ao eixo x (denotado M_x) é a soma (integração) de cada pequena área multiplicada pela sua distância ao eixo x. A distância vertical do eixo x até o centro da tira é a metade da altura da tira, isto é \dfrac{f(x)}{2}. Então o momento elementar é
dM_x = \left(\frac{f(x)}{2}\right)\,dA = \left(\frac{f(x)}{2}\right) f(x)\,dx = \frac{1}{2} f(x)^2\,dx.
  • Portanto a expressão para o momento total é
M_x = \int_{a}^{b} \frac{1}{2}\,f(x)^2\,dx.
  • A coordenada \bar{y} do centroide é dada por
\bar{y}=\frac{M_x}{A}.
Aqui:
  • \bar{y} é a distância do eixo x até o centroide (o que queremos),
  • A é a área total da placa (fornecida),
  • M_x é o momento em relação ao eixo x calculado pela integral acima.

Passo 3

Aplicando as fórmulas ao problema com f(x)=x^{2/3} e limites a=0,\;b=8:
  • Primeiro escrevemos a fórmula do momento:
M_x = \int_{0}^{8} \frac{1}{2}\,\bigl(x^{2/3}\bigr)^2\,dx.
  • Simplificando a potência dentro da integral:
\bigl(x^{2/3}\bigr)^2 = x^{4/3},
logo
M_x = \frac{1}{2}\int_{0}^{8} x^{4/3}\,dx.

Passo 4

Calcular a integral passo a passo usando a fórmula \int x^{n}dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C:
\int x^{4/3}\,dx = \frac{x^{7/3}}{7/3} = \frac{3}{7}x^{7/3}.
Portanto
M_x = \frac{1}{2}\left[\frac{3}{7}x^{7/3}\right]_{0}^{8}.
Avaliaremos em x=8 e x=0. Observando que 8^{1/3}=2, temos 8^{7/3}=(8^{1/3})^{7}=2^{7}=128. Assim
M_x = \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{7}\cdot 128 = \frac{3\cdot 128}{14} = \frac{384}{14} = \frac{192}{7}\\ \mathrm{m}^3.
(Nota: a unidade é \mathrm{m}^3 porque M_x é área vezes distância.)

Passo 5

Calcular \bar{y}=\dfrac{M_x}{A} usando M_x=\dfrac{192}{7} e A=\dfrac{96}{5}:
\bar{y} = \frac{\dfrac{192}{7}}{\dfrac{96}{5}} = \frac{192}{7}\cdot\frac{5}{96}.
Simplificando:
\frac{192}{96}=2,
então
\bar{y} = 2\cdot\frac{5}{7}=\frac{10}{7}\\ \mathrm{m}.
Em decimal, \dfrac{10}{7}\approx 1{,}4286\\ \mathrm{m}.

Resposta

\dfrac{10}{7}\\ \mathrm{m}

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