[2 pts] Calcule a coordenada
do centroide da placa por integração.
Dica: Use
.
Formulário:
Formulário:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a coordenada
do centroide da placa por integração. Informações e dados relevantes extraídos do enunciado e da figura:
- A função que descreve a borda superior da placa, retirada da imagem, é
.) - A placa está contida entre o eixo
(linha inferior), a curva , e as retas verticais em e (o eixo vai de a m na figura). - O ponto na direita tem altura
(verificado na figura). - A área da placa, fornecida no enunciado, é
- A questão solicita apenas
, a coordenada do centroide.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática, sem pular etapas):
- Para uma placa de espessura/ densidade constantes limitada abaixo pelo eixo
e acima pela função no intervalo , podemos usar tiras verticais de largura como elementos de área. Cada tira tem área elementar
porque a altura da tira é
e a largura é
.
- O momento da área em relação ao eixo
(denotado ) é a soma (integração) de cada pequena área multiplicada pela sua distância ao eixo . A distância vertical do eixo até o centro da tira é a metade da altura da tira, isto é . Então o momento elementar é
- Portanto a expressão para o momento total é
- A coordenada
do centroide é dada por
Aqui:
-
é a distância do eixo até o centroide (o que queremos), -
é a área total da placa (fornecida), -
é o momento em relação ao eixo calculado pela integral acima.
Passo 3
Aplicando as fórmulas ao problema com
e limites
:
- Primeiro escrevemos a fórmula do momento:
- Simplificando a potência dentro da integral:
logo
Passo 4
Calcular a integral passo a passo usando a fórmula
:
Portanto
Avaliaremos em
e
. Observando que
, temos
. Assim
(Nota: a unidade é
porque
é área vezes distância.)
Passo 5
Calcular
usando
e
:
Simplificando:
então
Em decimal,