Dois alto-falanter,
e
, estão a 7.0 m um do outro e oscilam em fase, cada um emitindo som na frequência de 200 Hz , de modo uniforme, em todas as direções.
emite a uma potência de
e
a
W. Seja um ponto
. que está a
de
e 3.0 m de
. (a) Como as fases das duas ondas passando por
se relacionam? (b) Qual a intensidade do som em
com
e
ligados? (c) Qual a intensidade do som em
, se
está desligado (
ligado)? (d) Qual a intensidade do som em
, se
está desligado (
ligado)?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as questões (a) a (d):
- Dois alto-falantes
e estão separados por 7,0 m. - Frequência de ambos:
. - Potências radiadas (isotrópicas, isto é, uniformemente em todas as direções):
e . - O ponto
está a de e a de .
Perguntas:
(a) Como se relacionam as fases das duas ondas quando chegam em ? (i.e., qual é a diferença de fase entre as ondas de
e
em
?)
(b) Qual a intensidade sonora em com
e
ligados?
(c) Qual a intensidade em se
estiver desligado (só
ligado)?
(d) Qual a intensidade em se
estiver desligado (só
ligado)?
(a) Como se relacionam as fases das duas ondas quando chegam em
(b) Qual a intensidade sonora em
(c) Qual a intensidade em
(d) Qual a intensidade em
Observação: o enunciado não dá a velocidade do som; vou assumir a velocidade típica do som no ar à temperatura ambiente como
. Não usei a imagem fornecida porque todas as informações necessárias estão no texto.
Passo 2
Calcular o comprimento de onda
. A fórmula que relaciona velocidade, frequência e comprimento de onda é
onde
é a velocidade do som e
é a frequência. Aqui
e
. Substituindo:
Explicação curta: o comprimento de onda é a distância que uma perturbação percorre durante um período da oscilação; dividir velocidade por frequência dá essa distância.
Passo 3
Calcular a diferença de caminho entre as duas ondas chegando a
. A diferença de caminhos é
A diferença de fase
relacionada a essa diferença de caminho é dada por
Substituindo
e
:
Converter para graus (útil para intuição):
.
Interpretação: as ondas partem em fase das fontes (enunciado diz que os alto-falantes oscilam em fase), mas ao chegarem em
têm diferença de fase
(aprox.
). Ou seja, em
elas não chegam em fase; chegam quase opostas (180° seria oposição perfeita), mas o desvio é cerca de
além dos
.
Assim respondemos (a): as fases que chegam em
diferem por
(≈
) — quase em oposição, mas não exatamente.
Passo 4
Calcular as intensidades individuais vindas de cada alto-falante em
quando cada um está isolado. Para uma fonte pontual isotrópica a intensidade a uma distância
é
onde
é a potência total radiada e
a distância até o ponto.
Para
(com
e
):
Calculemos numericamente:
, então
Para
(com
e
):
Numericamente:
, então
Observação didática: intensidade é energia por tempo por área; quanto mais longe, menor por
.
Passo 5
Explicar como combinar ondas coerentes (mesma frequência) que chegam com uma diferença de fase: se as amplitudes de pressão eficazes (rápidas oscilações) associadas a cada fonte forem
e
, a intensidade média (o que medimos) é proporcional ao quadrado da soma das amplitudes. Como intensidade de cada fonte está relacionada com a amplitude por
, podemos tomar amplitudes proporcionais a
. Portanto, para duas ondas de mesma frequência a intensidade resultante média é
onde
é a diferença de fase entre as ondas no ponto (explicação: o termo cruzado vem da média temporal de
). Esse é o resultado padrão para interferência de duas ondas coerentes.
Passo 6
Aplicar a fórmula de interferência com os números já obtidos.
Já temos
,
e
. Calculamos
:
O termo de interferência é
. Primeiro calculemos
:
Então
Agora somamos:
Somando:
Interpretação: a interferência é destrutiva parcial (termo de interferência negativo) porque as ondas chegam quase em oposição.
Passo 7
Resposta do item (c): se
estiver desligado e só
ligado, a intensidade em
é simplesmente a intensidade devido a
isolado, que já calculamos:
Passo 8
Resposta do item (d): se
estiver desligado e só
ligado, a intensidade em
é a intensidade devido a
isolado, que já calculamos:
Resposta
(a)
(≈
); as ondas chegam quase em oposição, mas não exatamente.
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)