Dois alto-falanter, F_{1} e F_{2}, estão a 7.0 m um do outro e oscilam em fase, cada um emitindo som na frequência de 200 Hz , de modo uniforme, em todas as direções. F_{1} emite a uma potência de 1,2 \times 10^{-3} \mathrm{~W} e F_{2} a 1.8 \times 10^{-5} W. Seja um ponto P. que está a 4,0 \mathrm{~m} de F_{1} e 3.0 m de F_{2}. (a) Como as fases das duas ondas passando por P se relacionam? (b) Qual a intensidade do som em P com F_{1} e F_{2} ligados? (c) Qual a intensidade do som em P, se F_{1} está desligado ( F_{2} ligado)? (d) Qual a intensidade do som em P, se F_{2} está desligado ( F_{1} ligado)?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as questões (a) a (d):
  • Dois alto-falantes F_1 e F_2 estão separados por 7,0 m.
  • Frequência de ambos: f=200\\ \text{Hz}.
  • Potências radiadas (isotrópicas, isto é, uniformemente em todas as direções): P_1 = 1{,}2\times 10^{-3}\\ \text{W} e P_2 = 1{,}8\times 10^{-5}\\ \text{W}.
  • O ponto P está a r_1=4{,}0\\ \text{m} de F_1 e a r_2=3{,}0\\ \text{m} de F_2.
Perguntas:
(a) Como se relacionam as fases das duas ondas quando chegam em P? (i.e., qual é a diferença de fase entre as ondas de F_1 e F_2 em P?)
(b) Qual a intensidade sonora em P com F_1 e F_2 ligados?
(c) Qual a intensidade em P se F_1 estiver desligado (só F_2 ligado)?
(d) Qual a intensidade em P se F_2 estiver desligado (só F_1 ligado)?
Observação: o enunciado não dá a velocidade do som; vou assumir a velocidade típica do som no ar à temperatura ambiente como v=340\\ \text{m/s}. Não usei a imagem fornecida porque todas as informações necessárias estão no texto.

Passo 2

Calcular o comprimento de onda \lambda. A fórmula que relaciona velocidade, frequência e comprimento de onda é
\lambda = \frac{v}{f},
onde v é a velocidade do som e f é a frequência. Aqui v=340\\ \text{m/s} e f=200\\ \text{Hz}. Substituindo:
\lambda = \frac{340}{200}=1{,}70\\ \text{m}.
Explicação curta: o comprimento de onda é a distância que uma perturbação percorre durante um período da oscilação; dividir velocidade por frequência dá essa distância.

Passo 3

Calcular a diferença de caminho entre as duas ondas chegando a P. A diferença de caminhos é
\Delta r = r_1 - r_2 = 4{,}0 - 3{,}0 = 1{,}0\\ \text{m}.
A diferença de fase \Delta \varphi relacionada a essa diferença de caminho é dada por
\Delta \varphi = \frac{2\pi}{\lambda}\,\Delta r.
Substituindo \lambda=1{,}70\\ \text{m} e \Delta r=1{,}0\\ \text{m}:
\Delta \varphi = \frac{2\pi}{1{,}70}\cdot 1{,}0 = \frac{2\pi}{1{,}70}\approx 3{,}69\\ \text{rad}.
Converter para graus (útil para intuição): 3{,}69\\ \text{rad}\times\frac{180^\circ}{\pi}\approx 211{,}7^\circ.
Interpretação: as ondas partem em fase das fontes (enunciado diz que os alto-falantes oscilam em fase), mas ao chegarem em P têm diferença de fase \Delta\varphi\approx 3{,}69\\ \text{rad} (aprox. 212^\circ). Ou seja, em P elas não chegam em fase; chegam quase opostas (180° seria oposição perfeita), mas o desvio é cerca de 32^\circ além dos 180^\circ.
Assim respondemos (a): as fases que chegam em P diferem por \Delta\varphi\approx 3{,}69\\ \text{rad} (≈ 211{,}7^\circ) — quase em oposição, mas não exatamente.

Passo 4

Calcular as intensidades individuais vindas de cada alto-falante em P quando cada um está isolado. Para uma fonte pontual isotrópica a intensidade a uma distância r é
I=\frac{P}{4\pi r^{2}},
onde P é a potência total radiada e r a distância até o ponto.
Para F_1 (com P_1=1{,}2\times10^{-3}\\ \text{W} e r_1=4{,}0\\ \text{m}):
I_1=\frac{1{,}2\times10^{-3}}{4\pi (4{,}0)^{2}}=\frac{1{,}2\times10^{-3}}{4\pi\cdot16}=\frac{1{,}2\times10^{-3}}{64\pi}.
Calculemos numericamente: 64\pi\approx 201{,}06, então
I_1\approx \frac{1{,}2\times10^{-3}}{201{,}06}\approx 5{,}97\times10^{-6}\\ \text{W/m}^{2}.
Para F_2 (com P_2=1{,}8\times10^{-5}\\ \text{W} e r_2=3{,}0\\ \text{m}):
I_2=\frac{1{,}8\times10^{-5}}{4\pi (3{,}0)^{2}}=\frac{1{,}8\times10^{-5}}{4\pi\cdot9}=\frac{1{,}8\times10^{-5}}{36\pi}.
Numericamente: 36\pi\approx 113{,}10, então
I_2\approx \frac{1{,}8\times10^{-5}}{113{,}10}\approx 1{,}59\times10^{-7}\\ \text{W/m}^{2}.
Observação didática: intensidade é energia por tempo por área; quanto mais longe, menor por 1/r^2.

Passo 5

Explicar como combinar ondas coerentes (mesma frequência) que chegam com uma diferença de fase: se as amplitudes de pressão eficazes (rápidas oscilações) associadas a cada fonte forem A_1 e A_2, a intensidade média (o que medimos) é proporcional ao quadrado da soma das amplitudes. Como intensidade de cada fonte está relacionada com a amplitude por I\propto A^{2}, podemos tomar amplitudes proporcionais a \sqrt{I}. Portanto, para duas ondas de mesma frequência a intensidade resultante média é
I_{\text{tot}} = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}\cos(\Delta\varphi),
onde \Delta\varphi é a diferença de fase entre as ondas no ponto (explicação: o termo cruzado vem da média temporal de 2A_1A_2\cos(\Delta\varphi)). Esse é o resultado padrão para interferência de duas ondas coerentes.

Passo 6

Aplicar a fórmula de interferência com os números já obtidos.
Já temos I_1\approx 5{,}97\times10^{-6}\\ \text{W/m}^2, I_2\approx 1{,}59\times10^{-7}\\ \text{W/m}^2 e \Delta\varphi\approx 3{,}69\\ \text{rad}. Calculamos \sqrt{I_1 I_2}:
\sqrt{I_1 I_2} \approx \sqrt{5{,}97\times10^{-6}\cdot 1{,}59\times10^{-7}} =\sqrt{9{,}50\times10^{-13}}\approx 9{,}75\times10^{-7}\\ \text{W/m}^2.
O termo de interferência é 2\sqrt{I_1 I_2}\cos(\Delta\varphi). Primeiro calculemos \cos(\Delta\varphi):
\cos(3{,}69)\approx -0{,}851\quad(\text{pois }3{,}69\\ \text{rad}\approx 211{,}7^\circ).
Então
2\sqrt{I_1 I_2}\cos(\Delta\varphi)\approx 2\cdot 9{,}75\times10^{-7}\cdot(-0{,}851) \approx -1{,}66\times10^{-6}\\ \text{W/m}^2.
Agora somamos:
I_{\text{tot}} = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}\cos(\Delta\varphi) \approx 5{,}97\times10^{-6} + 1{,}59\times10^{-7} - 1{,}66\times10^{-6}.
Somando:
I_{\text{tot}} \approx 4{,}47\times10^{-6}\\ \text{W/m}^2.
Interpretação: a interferência é destrutiva parcial (termo de interferência negativo) porque as ondas chegam quase em oposição.

Passo 7

Resposta do item (c): se F_1 estiver desligado e só F_2 ligado, a intensidade em P é simplesmente a intensidade devido a F_2 isolado, que já calculamos:
I_{(F_2\\ \text{somente})}=I_2\approx 1{,}59\times10^{-7}\\ \text{W/m}^2.

Passo 8

Resposta do item (d): se F_2 estiver desligado e só F_1 ligado, a intensidade em P é a intensidade devido a F_1 isolado, que já calculamos:
I_{(F_1\\ \text{somente})}=I_1\approx 5{,}97\times10^{-6}\\ \text{W/m}^2.

Resposta

(a) \Delta\varphi \approx 3{,}69\\ \text{rad} (≈ 211{,}7^\circ); as ondas chegam quase em oposição, mas não exatamente.
(b) I_{\text{tot}}\approx 4{,}47\times10^{-6}\\ \text{W/m}^2.
(c) I_{(F_1\\ \text{off})}=I_2\approx 1{,}59\times10^{-7}\\ \text{W/m}^2.
(d) I_{(F_2\\ \text{off})}=I_1\approx 5{,}97\times10^{-6}\\ \text{W/m}^2.

Exercícios relacionados