Um objeto em movimento curvilíneo ao longo de uma trajetória circular está sujeito a uma aceleração centrípeta. O espaço percorrido é dado por s(t)=2 t^{2}+t. No instante t=3, a aceleração centrípeta (ac) vale 20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
a) Qual o módulo da velocidade no instante t=3s?

Passo 1

O enunciado dá a lei do espaço percorrido e uma aceleração centrípeta num instante. Precisamos identificar claramente o que é pedido e o que é dado.
Dado:
s(t)=2t^{2}+t
e no instante t=3 vale \,a_{c}=20\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Pedido:
  • Qual o módulo da velocidade no instante t=3\\ \mathrm{s}?

Passo 2

Entender a relação entre espaço, velocidade e aceleração centrípeta (aula rápida, calma que eu explico).
  • Quando s(t) é o espaço percorrido ao longo da trajetória (isto é, s é o comprimento do arco percorrido), a velocidade escalar (módulo da velocidade) é a derivada do espaço em relação ao tempo. Em fórmulas:
v(t)=\frac{ds}{dt}.
Aqui v(t) é o módulo da velocidade no instante t, s(t) é o espaço percorrido em função do tempo, e \frac{d}{dt} é o operador derivada que indica a taxa de variação instantânea de s com respeito a t.
  • A aceleração centrípeta para movimento em curva circular relaciona velocidade e raio da curva pela fórmula
a_{c}=\frac{v^{2}}{r},
onde a_{c} é a aceleração centrípeta (módulo), v é o módulo da velocidade e r é o raio da curva. Essa fórmula será útil se quisermos checar consistência ou obter o raio; mas não é necessária para achar v quando temos s(t).

Passo 3

Aplicar a definição de velocidade como derivada de s(t). Derivando termo a termo:
s(t)=2t^{2}+t\quad\Rightarrow\quad v(t)=\frac{ds}{dt}= \frac{d}{dt}(2t^{2})+\frac{d}{dt}(t).
Lembrando que \frac{d}{dt}(t^{2})=2t e \frac{d}{dt}(t)=1, então
\frac{d}{dt}(2t^{2})=2\cdot 2t=4t,
portanto
v(t)=4t+1.

Passo 4

Avaliar v(t) no instante t=3. Substituímos t=3 em v(t)=4t+1:
v(3)=4\cdot 3 + 1 = 12 + 1 = 13.
Logo o módulo da velocidade no instante t=3 é 13\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

(Opicional — checagem usando a aceleração centrípeta dada)
Se quisermos checar a consistência com o dado a_{c}=20\\ \mathrm{m/s^{2}} no mesmo instante, usamos \,a_{c}=\dfrac{v^{2}}{r}\, para obter o raio r:
r=\frac{v^{2}}{a_{c}}=\frac{13^{2}}{20}=\frac{169}{20}=8{,}45\\ \mathrm{m}.
Portanto, com v(3)=13\\ \mathrm{m/s} e a_{c}=20\\ \mathrm{m/s^{2}} o raio necessário seria 8{,}45\\ \mathrm{m}, o que mostra consistência entre os dados.

Resposta

13\\ \mathrm{m/s}

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