Um objeto em movimento curvilíneo ao longo de uma trajetória circular está sujeito a uma aceleração centrípeta. O espaço percorrido é dado por
. No instante
, a aceleração centrípeta (ac) vale
.
a) Qual o módulo da velocidade no instante
?
a) Qual o módulo da velocidade no instante
Passo 1
O enunciado dá a lei do espaço percorrido e uma aceleração centrípeta num instante. Precisamos identificar claramente o que é pedido e o que é dado.
Dado:
e no instante
vale
Pedido:
- Qual o módulo da velocidade no instante
?
Passo 2
Entender a relação entre espaço, velocidade e aceleração centrípeta (aula rápida, calma que eu explico).
- Quando
é o espaço percorrido ao longo da trajetória (isto é, é o comprimento do arco percorrido), a velocidade escalar (módulo da velocidade) é a derivada do espaço em relação ao tempo. Em fórmulas:
Aqui
é o módulo da velocidade no instante
,
é o espaço percorrido em função do tempo, e
é o operador derivada que indica a taxa de variação instantânea de
com respeito a
.
- A aceleração centrípeta para movimento em curva circular relaciona velocidade e raio da curva pela fórmula
onde
é a aceleração centrípeta (módulo),
é o módulo da velocidade e
é o raio da curva. Essa fórmula será útil se quisermos checar consistência ou obter o raio; mas não é necessária para achar
quando temos
.
Passo 3
Aplicar a definição de velocidade como derivada de
. Derivando termo a termo:
Lembrando que
e
, então
portanto
Passo 4
Avaliar
no instante
. Substituímos
em
:
Logo o módulo da velocidade no instante
é
.
Passo 5
(Opicional — checagem usando a aceleração centrípeta dada)
Se quisermos checar a consistência com o dado no mesmo instante, usamos
para obter o raio
:
Se quisermos checar a consistência com o dado
Portanto, com
e
o raio necessário seria
, o que mostra consistência entre os dados.