Escolha um E APENAS UM dos itens abaixo e forneça o que se pede
(a) Assumindo que o limite exista, calcule
(a) Assumindo que o limite exista, calcule
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite, assumindo que ele existe:
Informações dadas e observações imediatas:
- O ponto de aproximação é
. - A expressão depende apenas de
(ou seja, é radial): tanto o numerador quanto o denominador usam . - Foi dito para assumir que o limite existe; mesmo assim vamos calcular e justificar o valor.
Não vou resolver nada ainda; apenas enumerei o que o problema dá e o que pede.
Passo 2
Vamos usar a observação radial com uma mudança de variável simples. Defina
Quando
temos
. Substituindo
na expressão, obtemos
Agora o limite em duas variáveis reduz-se ao limite em uma variável radial:
Passo 3
Faça a substituição
. Como
, temos
. A expressão vira
Portanto precisamos calcular
Passo 4
Use a identidade trigonométrica
Substituindo na fração,
Agora reescrevemos para expor o fator conhecido
. Observe que
Essa fatoração é só álgebra: multiplicamos e dividimos por
.
Passo 5
Lembramos o limite fundamental (padrão de cálculo):
Uma justificativa curta: para
vale
; como
quando
, pelo teorema do confronto temos
. O mesmo vale para
em geral por simetria ímpar/par.
Aplicando isso com obtemos
Aplicando isso com
Passo 6
Voltando à expressão da Passo 4 e usando o resultado do passo anterior,
Portanto
e assim o limite original também é
.
Resposta
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