Escolha um E APENAS UM dos itens abaixo e forneça o que se pede
(a) Assumindo que o limite exista, calcule
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{1-\cos \left(x^{2}+y^{2}\right)}{2 x^{2}+2 y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite, assumindo que ele existe:
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{1-\cos\left(x^{2}+y^{2}\right)}{2x^{2}+2y^{2}}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • O ponto de aproximação é (0,0).
  • A expressão depende apenas de x^{2}+y^{2} (ou seja, é radial): tanto o numerador quanto o denominador usam x^{2}+y^{2}.
  • Foi dito para assumir que o limite existe; mesmo assim vamos calcular e justificar o valor.
    Não vou resolver nada ainda; apenas enumerei o que o problema dá e o que pede.

Passo 2

Vamos usar a observação radial com uma mudança de variável simples. Defina
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Quando (x,y)\to(0,0) temos r\to 0^{+}. Substituindo x^{2}+y^{2}=r^{2} na expressão, obtemos
\frac{1-\cos\left(x^{2}+y^{2}\right)}{2x^{2}+2y^{2}}=\frac{1-\cos\left(r^{2}\right)}{2r^{2}}.
Agora o limite em duas variáveis reduz-se ao limite em uma variável radial:
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{1-\cos\left(x^{2}+y^{2}\right)}{2x^{2}+2y^{2}} = \lim_{r\to 0^{+}} \frac{1-\cos\left(r^{2}\right)}{2r^{2}}.

Passo 3

Faça a substituição s=r^{2}. Como r\to 0^{+}, temos s\to 0^{+}. A expressão vira
\frac{1-\cos\left(r^{2}\right)}{2r^{2}}=\frac{1-\cos s}{2s}.
Portanto precisamos calcular
\lim_{s\to 0} \frac{1-\cos s}{2s}.

Passo 4

Use a identidade trigonométrica
1-\cos s = 2\sin^{2}\!\left(\frac{s}{2}\right).
Substituindo na fração,
\frac{1-\cos s}{2s}=\frac{2\sin^{2}\!\left(\frac{s}{2}\right)}{2s}=\frac{\sin^{2}\!\left(\frac{s}{2}\right)}{s}.
Agora reescrevemos para expor o fator conhecido \dfrac{\sin t}{t}. Observe que
\frac{\sin^{2}\!\left(\frac{s}{2}\right)}{s} = \left(\frac{\sin\left(\frac{s}{2}\right)}{\frac{s}{2}}\right)^{2}\cdot\frac{s}{4}.
Essa fatoração é só álgebra: multiplicamos e dividimos por \left(\frac{s}{2}\right)^{2}.

Passo 5

Lembramos o limite fundamental (padrão de cálculo):
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
Uma justificativa curta: para 0<t<\frac{\pi}{2} vale \cos t < \dfrac{\sin t}{t} < 1; como \cos t\to 1 quando t\to 0, pelo teorema do confronto temos \dfrac{\sin t}{t}\to 1. O mesmo vale para t\to 0 em geral por simetria ímpar/par.
Aplicando isso com t=\dfrac{s}{2} obtemos
\lim_{s\to 0}\frac{\sin\left(\frac{s}{2}\right)}{\frac{s}{2}}=1.

Passo 6

Voltando à expressão da Passo 4 e usando o resultado do passo anterior,
\lim_{s\to 0}\left(\frac{\sin\left(\frac{s}{2}\right)}{\frac{s}{2}}\right)^{2}\cdot\frac{s}{4} =1^{2}\cdot\lim_{s\to 0}\frac{s}{4}=\;0.
Portanto
\lim_{s\to 0}\frac{1-\cos s}{2s}=0,
e assim o limite original também é 0.

Resposta

0

Exercícios relacionados