([2,5 pts]) Considere a função f(x)=e^-x^22. Determine:
(a) (0,3 pts) O(s) ponto(s) crítico(s) de f.
(b) (0,3 pts) Intervalos de crescimento e decrescimento de f.
(c) (0,3 pts) Pontos de máximo e mínimo locais de f.
(d) (0,3 pts) O(s) ponto(s) de inflexão de f.
(e) ( 0 , 3 p t s ) Os intervalos onde a concavidade da função é voltada para cima e os intervalos onde a concavidade é voltada para baixo.
(f) (0,5 pts) Esboce o gráfico de f.
(g) (0,5 pts) Os pontos de máximo e mínimo que a função f atinge no intervalo fechado [-1,2].

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=e^-x^22
e pede: pontos críticos, intervalos de crescimento/decrescimento, extremos locais, pontos de inflexão, concavidade, esboço do gráfico e extremos absolutos em [-1,2]. Vamos usar derivadas de primeira e segunda ordem e o critério de sinal para resolver.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira usando regra do produto (ou cadeia):
f'(x)=ddxl(e^-x^22r) =e^-x^22cdotddxl(-x^22r) =-x,e^-x^22
Os pontos críticos são onde f'(x)=0.

Passo 3

Resolvendo f'(x)=0 obtemos
-x,e^-x^22=0 Longrightarrow x=0,
pois e^-x^22>0 para todo x. Logo, o único ponto crítico é x=0.

Passo 4

Para ver crescimento e decrescimento analisamos o sinal de f'(x)=-x,e^-x^22:
– Se x<0, então -x>0 e f'(x)>0, logo f cresce em (-infty,0).
– Se x>0, então -x<0 e f'(x)<0, logo f decresce em (0,infty).
Em x=0 muda de crescente para decrescente, caracterizando um máximo local em x=0.

Passo 5

Calculamos a derivada segunda para inflexões e concavidade:
f''(x) =ddxl(-x,e^-x^22r) =-e^-x^22+x^2,e^-x^22 =e^-x^22l(x^2-1r)
Os pontos de inflexão satisfazem f''(x)=0, ou seja x^2-1=0, daí x=pm1.

Passo 6

O sinal de f''(x)=e^-x^22(x^2-1) dá:
f''(x)>0 (concavidade para cima) quando x^2-1>0, isto é |x|>1.
f''(x)<0 (concavidade para baixo) quando |x|<1.

Passo 7

Esboço qualitativo do gráfico de f:
bul<=t É simétrica em relação ao eixo y.
bul<=t Tem máximo em (0,1).
bul<=t Decai para zero conforme xtopminfty.
bul<=t Pontos de inflexão em x=pm1, onde muda de “curva para baixo” para “curva para cima” e vice-versa.

Passo 8

No intervalo fechado [-1,2] comparamos valores em x=-1,,x=0,,x=2:
f(-1)=e^-12, f(0)=1, f(2)=e^-2
O maior valor é f(0)=1 e o menor é f(2)=e^-2.

Resposta

(a) O ponto crítico é x=0.
(b) f cresce em (-infty,0) e decresce em (0,infty).
(c) Há um máximo local em x=0 valendo f(0)=1; não há mínimo local.
(d) Pontos de inflexão em x=-1 e x=1.
(e) Concavidade voltada para baixo em (-1,1); voltada para cima em (-infty,-1)cup(1,infty).
(f) Gráfico: curva em “sino”, simétrica, pico em (0,1), decai a zero em pminfty, inflexões em pm1.
(g) Em [-1,2] o máximo absoluto é f(0)=1 e o mínimo absoluto é f(2)=e^-2.

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