([2,5 pts]) Considere a função
. Determine:
(a) (0,3 pts)
ponto(s) crítico(s) de
.
(b) (0,3 pts) Intervalos de crescimento e decrescimento de
.
(c) (0,3 pts) Pontos de máximo e mínimo locais de
.
(d) (0,3 pts) O(s) ponto(s) de inflexão de
.
(e) (
) Os intervalos onde a concavidade da função é voltada para cima e os intervalos onde a concavidade é voltada para baixo.
(f) (0,5 pts) Esboce o gráfico de
.
(g) (0,5 pts) Os pontos de máximo e mínimo que a função
atinge no intervalo fechado
.
(a) (0,3 pts)
(b) (0,3 pts) Intervalos de crescimento e decrescimento de
(c) (0,3 pts) Pontos de máximo e mínimo locais de
(d) (0,3 pts) O(s) ponto(s) de inflexão de
(e) (
(f) (0,5 pts) Esboce o gráfico de
(g) (0,5 pts) Os pontos de máximo e mínimo que a função
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: pontos críticos, intervalos de crescimento/decrescimento, extremos locais, pontos de inflexão, concavidade, esboço do gráfico e extremos absolutos em
. Vamos usar derivadas de primeira e segunda ordem e o critério de sinal para resolver.
Passo 2
Calculamos a derivada primeira usando regra do produto (ou cadeia):
Os pontos críticos são onde
.
Passo 3
Resolvendo
obtemos
pois
para todo
. Logo, o único ponto crítico é
.
Passo 4
Para ver crescimento e decrescimento analisamos o sinal de
:
– Se , então
e
, logo
cresce em
.
– Se , então
e
, logo
decresce em
.
Em muda de crescente para decrescente, caracterizando um máximo local em
.
– Se
– Se
Em
Passo 5
Calculamos a derivada segunda para inflexões e concavidade:
Os pontos de inflexão satisfazem
, ou seja
, daí
.
Passo 6
O sinal de
dá:
– (concavidade para cima) quando
, isto é
.
– (concavidade para baixo) quando
.
–
–
Passo 7
Esboço qualitativo do gráfico de
:
É simétrica em relação ao eixo
.
Tem máximo em
.
Decai para zero conforme
.
Pontos de inflexão em
, onde muda de “curva para baixo” para “curva para cima” e vice-versa.
Passo 8
No intervalo fechado
comparamos valores em
:
O maior valor é
e o menor é
.
Resposta
(a) O ponto crítico é
.
(b) cresce em
e decresce em
.
(c) Há um máximo local em valendo
; não há mínimo local.
(d) Pontos de inflexão em e
.
(e) Concavidade voltada para baixo em ; voltada para cima em
.
(f) Gráfico: curva em “sino”, simétrica, pico em , decai a zero em
, inflexões em
.
(g) Em o máximo absoluto é
e o mínimo absoluto é
.
(b)
(c) Há um máximo local em
(d) Pontos de inflexão em
(e) Concavidade voltada para baixo em
(f) Gráfico: curva em “sino”, simétrica, pico em
(g) Em