Questão 3 (10 pontos).
Caracterize as curvas de nivel da futusion f(x, y)=1y^2+9 x^2
Mostre que lim (x, y) (0,0) 4 x y^2x^3+y^3 não existe.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Caracterizar as curvas de nível da função
f(x,y)=1y^2+9x^2
Isso exige usar a definição de curva de nível, que é o conjunto de pontos (x,y) tais que f(x,y)=c para cada constante c.
2. Mostrar que
lim(x,y)to(0,0)4xy^2x^3+y^3
não existe. Para isso vamos usar o método de limites por diferentes caminhos no plano.

Passo 2

Para caracterizar as curvas de nível, fixamos um valor c>0 e resolvemos
f(x,y)=c Long<=ftrightarrow 1y^2+9x^2 = c Long<=ftrightarrow y^2+9x^2 = 1c
Isso é a equação de uma elipse centrada na origem, com semieixo em x de comprimento
a = raiz19c = 13raizc
e semieixo em y de comprimento
b = raiz1c = 1raizc
Logo, para cada c>0, a curva de nível f(x,y)=c é a elipse
9x^2 + y^2 = 1c

Passo 3

Para ver que
lim(x,y)to(0,0)4xy^2x^3+y^3
não existe, escolhemos o caminho y = kx com k constante. Então ao substituir:
4x,y^2x^3+y^3 = 4x,(kx)^2x^3+(kx)^3 = 4k^2x^3x^3(1+k^3) = 4k^21+k^3
Esse valor depende de k. Por exemplo:
  • Para k=0 (eixo x) obtemos ;0.
  • Para k=1 (reta y=x) obtemos ;4/(1+1)=2.
    Como há dois resultados diferentes, o limite não pode existir.

Resposta

As curvas de nível de f(x,y)=1/(y^2+9x^2) são as elipses
9x^2 + y^2 = 1c,
uma para cada c>0, com semieixos 1/(3raizc) e 1/raizc.
O limite
lim(x,y)to(0,0)4xy^2x^3+y^3
não existe, pois ao aproximar por diferentes retas y=kx obtém-se valores distintos (por ex., 0 para k=0 e 2 para k=1).

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