Questão 3 (10 pontos).
Caracterize as curvas de nivel da futusion
Mostre que
não existe.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Caracterizar as curvas de nível da função
Isso exige usar a definição de curva de nível, que é o conjunto de pontos
tais que
para cada constante
.
2. Mostrar que
2. Mostrar que
não existe. Para isso vamos usar o método de limites por diferentes caminhos no plano.
Passo 2
Para caracterizar as curvas de nível, fixamos um valor
e resolvemos
Isso é a equação de uma elipse centrada na origem, com semieixo em
de comprimento
e semieixo em
de comprimento
Logo, para cada
, a curva de nível
é a elipse
Passo 3
Para ver que
não existe, escolhemos o caminho
com
constante. Então ao substituir:
Esse valor depende de
. Por exemplo:
- Para
(eixo ) obtemos . - Para
(reta ) obtemos .
Como há dois resultados diferentes, o limite não pode existir.
Resposta
As curvas de nível de
são as elipses
uma para cada
, com semieixos
e
.
O limite
O limite
não existe, pois ao aproximar por diferentes retas
obtém-se valores distintos (por ex.,
para
e
para
).