A solução geral de (x^3+3 x y^2) d x+(3 x^2+y^3)=0 é
  1. 14(x^4+6 x^2 y^2+y^4)=c
  2. 112(x^3+6 x y^2+y^4)=c
  3. 15(8 x^4+6 x^3 y+y^3)=c
  4. (x^2+y^2)=c

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial na forma
l(x^3+3xy^2r),dx+l(3x^2+y^3r),dy=0
e pede a solução geral. Isso é um problema de forma diferencial exata: identificamos
M(x,y)=x^3+3xy^2, N(x,y)=3x^2+y^3
Vamos verificar exatidão e, em seguida, achar uma potencial Phi(x,y) tal que dPhi=M,dx+N,dy.

Passo 2

Verificamos a condição de exatidão:
partial Mpartial y =partialpartial yl(x^3+3xy^2r) =6xy, partial Npartial x =partialpartial xl(3x^2+y^3r) =6x
Como faltou o fator y em N, presumimos que o termo correto seria N=3x^2y+y^3. Com isso,
partial Npartial x =6xy
e a forma torna‐se exata.

Passo 3

Procuramos Phi(x,y) tal que
partial Phipartial x =M=x^3+3xy^2
Integramos em x, tratando y como constante:
Phi(x,y) =integrall(x^3+3xy^2r),dx =x^44+3x^2y^22+h(y)
Agora impondo
partial Phipartial y =3x^2y+h'(y) overset!=N=3x^2y+y^3
segue h'(y)=y^3, logo h(y)=tfracy^44.

Passo 4

Logo a função potencial é
Phi(x,y) =x^44+3x^2y^22+y^44 =14l(x^4+6x^2y^2+y^4r),
e a solução implícita dPhi=0 fornece
14l(x^4+6x^2y^2+y^4r)=c

Resposta

  1. 14l(x^4+6x^2y^2+y^4r)=c

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