Seja y(t) a solução do seguinte PVI:
y^prime prime-y=0 ; y(0)=2, y^prime(0)=0
Então y(1) é igual a:
(i) 2 e
(ii) 2
(iii) 2 e^-1
(iv) e+e^-1
(v) 2 e-2

Passo 1

A equação dada é uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, pois
y'' - y = 0
com as condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=0. Vamos usar o método da equação característica para encontrar a solução.

Passo 2

Formamos a equação característica substituindo y(t)=e^rt:
r^2 - 1 = 0
As raízes são
r = 1 e r = -1

Passo 3

Como as raízes são distintas, a solução geral é
y(t) = C1 e^t + C2 e^-t,
e sua derivada é
y'(t) = C1 e^t - C2 e^-t

Passo 4

Impondo as condições iniciais em t=0:
y(0)=C1 + C2 = 2,
y'(0)=C1 - C2 = 0
Resolvendo esse sistema obtemos
C1 = 1, C2 = 1

Passo 5

Logo a solução particular é
y(t) = e^t + e^-t,
e em t=1 temos
y(1) = e + e^-1

Resposta

(iv) e + e^-1

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