([2,5 pts]) Considere a função f(x)=e^-x^22. Determine:
(0, 3 p t s) Os intervalos onde a concavidade da função é voltada para cima e os intervalos onde a concavidade é voltada para baixo.

Passo 1

Então, a gente tem a função . O que a pergunta quer é saber em quais intervalos a concavidade dessa função está “virada para cima” e “virada para baixo”. Pra resolver isso, vamos precisar calcular a segunda derivada da função e ver onde ela é positiva ou negativa.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a primeira derivada de f'(x) = e^-x^22 cdot (-x) = -x cdot e^-x^22 . A derivada de é , onde . Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada, f''(x) = -e^-x^22 + x^2 cdot e^-x^22 = e^-x^22 (x^2 - 1) . Precisamos derivar . Usamos a regra do produto:

Passo 4

A concavidade depende do sinal de . Vamos analisar onde é positiva ou negativa. Como é sempre positiva, o sinal de depende de :
  • quando .
  • quando .

Resposta

A concavidade da função está voltada para cima nos intervalos e e voltada para baixo no intervalo .

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