([2,5 pts]) Considere a função f(x)=e^-x^22. Determine:
(0,5 pts) Os pontos de máximo e mínimo que a função f atinge no intervalo fechado [-1,2].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x) = e{-\frac{x{2}}{2}} $ e precisa encontrar os pontos de máximo e mínimo que ela atinge no intervalo fechado f(x) = e^-x^22 . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para identificar onde a função atinge esses extremos.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos ajuda a descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo, e onde tem pontos de máximo ou mínimo.
A função é:
f(x)
Usando a regra da cadeia, a derivada de $ f(x) $ em relação a $ x $ é:
f(x) = e^-x^22

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de $ x $ onde a derivada $ f’(x) $ é igual a zero ou não existe. Esses pontos podem ser candidatos a máximos ou mínimos.
Igualando a derivada a zero:
x
Como $ e{-\frac{x{2}}{2}} $ nunca é zero, a única solução é:
f'(x)
Então, $ x = 0 $ é um ponto crítico.

Passo 4

Além dos pontos críticos, precisamos verificar os extremos do intervalo dado, que são $ x = -1 $ e $ x = 2 $.
Agora, vamos calcular o valor da função nesses três pontos para comparar e determinar quais são máximos e mínimos.

Passo 5

Calculando $ f(x) $ nos pontos $ x = -1 $, $ x = 0 $ e $ x = 2 $:
Para $ x = -1 $:
f(x)
Para $ x = 0 $:
x = -1
Para $ x = 2 $:
x = 0

Resposta

No intervalo [-1, 2], a função $ f(x) = e{-\frac{x{2}}{2}} $ atinge:
  • Máximo em $ x = 0 $, onde $ f(0) = 1 $.
  • Mínimos nos pontos $ x = -1 $ e $ x = 2 $, onde $ f(-1) \approx 0,6065 $ e $ f(2) \approx 0,1353 $, respectivamente.

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