Considere a função
. Determine:
Os pontos de máximo e mínimo que a função
atinge no intervalo fechado
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x) = e{-\frac{x{2}}{2}} $ e precisa encontrar os pontos de máximo e mínimo que ela atinge no intervalo fechado
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para identificar onde a função atinge esses extremos.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos ajuda a descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo, e onde tem pontos de máximo ou mínimo.
A função é:
Usando a regra da cadeia, a derivada de $ f(x) $ em relação a $ x $ é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de $ x $ onde a derivada $ f’(x) $ é igual a zero ou não existe. Esses pontos podem ser candidatos a máximos ou mínimos.
Igualando a derivada a zero:
Como $ e{-\frac{x{2}}{2}} $ nunca é zero, a única solução é:
Então, $ x = 0 $ é um ponto crítico.
Passo 4
Além dos pontos críticos, precisamos verificar os extremos do intervalo dado, que são $ x = -1 $ e $ x = 2 $.
Agora, vamos calcular o valor da função nesses três pontos para comparar e determinar quais são máximos e mínimos.
Passo 5
Calculando $ f(x) $ nos pontos $ x = -1 $, $ x = 0 $ e $ x = 2 $:
Para $ x = -1 $:
Para $ x = 0 $:
Para $ x = 2 $:
Resposta
No intervalo
, a função $ f(x) = e{-\frac{x{2}}{2}} $ atinge:
- Máximo em $ x = 0 $, onde $ f(0) = 1 $.
- Mínimos nos pontos $ x = -1 $ e $ x = 2 $, onde $ f(-1) \approx 0,6065 $ e $ f(2) \approx 0,1353 $, respectivamente.