[5 pts] Calcule as derivadas das seguintes funções:
[0 , 8 p t] f(x)=cos xx^2-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a derivada da função . Isso envolve o conteúdo de cálculo diferencial, especificamente a regra do quociente. A gente vai precisar lembrar como derivar funções trigonométricas e polinomiais, e aplicar a regra do quociente para encontrar a derivada dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que vão compor o nosso quociente. No caso, temos:
  • Numerador (u):
  • Denominador (v):

Passo 3

Agora, vamos lembrar como funciona a regra do quociente. Se temos uma função que é u dividida por v, ou seja, f'(x) = u'v - uv'v^2 , a derivada dessa função é dada por:
Onde é a derivada de u em relação a x, e é a derivada de v em relação a x.

Passo 4

Vamos calcular u' = -sin x e v' = 2x individualmente:
  • Derivada de u ( ):

    A derivada de é , então:
  • Derivada de v ( ):

    A derivada de é , e a derivada de uma constante (-1) é 0, então:

Passo 5

Agora, vamos aplicar a regra do quociente usando os valores que encontramos:
f'(x) = u'v - uv'v^2 = (-sin x)(x^2 - 1) - (cos x)(2x)(x^2 - 1)^2

Passo 6

Vamos simplificar o numerador:
(-sin x)(x^2 - 1) - (cos x)(2x) = -sin x cdot x^2 + sin x - 2x cos x
Então, a derivada fica:
f'(x) = -x^2 sin x + sin x - 2x cos x(x^2 - 1)^2

Resposta

A derivada da função f'(x) = -x^2 sin x + sin x - 2x cos x(x^2 - 1)^2 é:

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