[5 pts] Calcule as derivadas das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a derivada da função
. Isso envolve o conteúdo de cálculo diferencial, especificamente a regra do quociente. A gente vai precisar lembrar como derivar funções trigonométricas e polinomiais, e aplicar a regra do quociente para encontrar a derivada dessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que vão compor o nosso quociente. No caso, temos:
- Numerador (u):
- Denominador (v):
Passo 3
Agora, vamos lembrar como funciona a regra do quociente. Se temos uma função que é u dividida por v, ou seja,
, a derivada dessa função é dada por:
Onde
é a derivada de u em relação a x, e
é a derivada de v em relação a x.
Passo 4
Vamos calcular
e
individualmente:
- Derivada de u (
):
A derivada deé , então: - Derivada de v (
):
A derivada deé , e a derivada de uma constante (-1) é 0, então:
Passo 5
Agora, vamos aplicar a regra do quociente usando os valores que encontramos:
Passo 6
Vamos simplificar o numerador:
Então, a derivada fica:
Resposta
A derivada da função
é: