Considere a função
. Determine:
Pontos de máximo e mínimo locais de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar os pontos de máximo e mínimo local da função
. Isso faz parte do Conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas e análise de funções para identificar extremos. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função, encontrar onde ela é zero (pontos críticos) e verificar se esses pontos são máximos ou mínimos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. Lembra que, para derivar uma função exponencial do tipo
, usamos a regra da cadeia: a derivada é
vezes a derivada de
.
Então,
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de
onde
. Então, igualamos a derivada a zero:
Sabemos que
nunca é zero para nenhum valor real de
, então a única solução é:
Portanto, temos um ponto crítico em
.
Passo 4
Para determinar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo, podemos usar o teste da segunda derivada. Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de
.
Derivando
:
Agora, avaliaremos a segunda derivada em
:
Como
, isso indica que a função tem um ponto de máximo local em
.
Resposta
A função
possui um ponto de máximo local em
e não apresenta pontos de mínimo local.