([2,5 pts]) Considere a função f(x)=e^-x^22. Determine:
(0,3 pts) Pontos de máximo e mínimo locais de f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar os pontos de máximo e mínimo local da função . Isso faz parte do Conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas e análise de funções para identificar extremos. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função, encontrar onde ela é zero (pontos críticos) e verificar se esses pontos são máximos ou mínimos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função f'(x) = e^-x^22 cdot ( -2x2 ) = -x cdot e^-x^22 . Lembra que, para derivar uma função exponencial do tipo , usamos a regra da cadeia: a derivada é vezes a derivada de .
Então,

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de -x cdot e^-x^22 = 0 onde -x = 0 Rightarrow x = 0 . Então, igualamos a derivada a zero:
Sabemos que nunca é zero para nenhum valor real de , então a única solução é:
Portanto, temos um ponto crítico em .

Passo 4

Para determinar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo, podemos usar o teste da segunda derivada. Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de f''(x) = -e^-x^22 + x^2 cdot e^-x^22 = (x^2 - 1) cdot e^-x^22 .
Derivando f''(0) = (0^2 - 1) cdot e^-0^22 = -1 cdot 1 = -1 :
Agora, avaliaremos a segunda derivada em :
Como , isso indica que a função tem um ponto de máximo local em .

Resposta

A função possui um ponto de máximo local em e não apresenta pontos de mínimo local.

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