(Assíntotas - 2,5 pontos) Ache as assíntotas horizontal e vertical e faça um esboço do gráfico da função definida por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente encontrar as assíntotas horizontal e vertical da função
e desenhar o gráfico dela. Estamos lidando com funções racionais, que são basicamente frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Pra achar as assíntotas, a gente vai precisar analisar onde o denominador vira zero e também o comportamento da função quando
vai pra infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a assíntota vertical. Essas assíntotas acontecem onde o denominador da fração é zero, porque aí a função não está definida (não rola dividir por zero).
Então, igualamos o denominador a zero:
Resolvendo:
Conclusão: A assíntota vertical é a linha
.
Passo 3
Agora, vamos achar a assíntota horizontal. Pra funções racionais, a assíntota horizontal depende dos graus dos polinômios do numerador e do denominador.
No nosso caso, tanto o numerador
quanto o denominador
são polinômios de grau 1.
Quando os graus são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Ou seja:
Conclusão: A assíntota horizontal é a linha
.
Passo 4
Com as assíntotas encontradas, vamos dar uma olhada em como a função se comporta perto delas para esboçar o gráfico. Sabemos que a função vai “se aproximar” dessas linhas, mas nunca as toca.
Além disso, para ajudar no desenho, vamos calcular alguns pontos da função em valores específicos de
.
Passo 5
Vamos calcular
para alguns valores de
:
-
Para
: Ponto: -
Para
: Ponto: -
Para
: Ponto:
Esses pontos nos dão uma ideia de como a função se comporta em relação às assíntotas.
Resposta
As assíntotas da função
são:
- Assíntota vertical:
- Assíntota horizontal:
Além disso, o gráfico da função passa pelos pontos
,
e
, e se aproxima dessas assíntotas conforme
vai para mais ou menos infinito.