(Assíntotas - 2,5 pontos) Ache as assíntotas horizontal e vertical e faça um esboço do gráfico da função definida por
f(x)=-2 xx-3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente encontrar as assíntotas horizontal e vertical da função e desenhar o gráfico dela. Estamos lidando com funções racionais, que são basicamente frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Pra achar as assíntotas, a gente vai precisar analisar onde o denominador vira zero e também o comportamento da função quando vai pra infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a assíntota vertical. Essas assíntotas acontecem onde o denominador da fração é zero, porque aí a função não está definida (não rola dividir por zero).
Então, igualamos o denominador a zero:
x - 3 = 0
Resolvendo:
x = 3
Conclusão: A assíntota vertical é a linha .

Passo 3

Agora, vamos achar a assíntota horizontal. Pra funções racionais, a assíntota horizontal depende dos graus dos polinômios do numerador e do denominador.
No nosso caso, tanto o numerador y = coeficiente do x no numeradorcoeficiente do x no denominador = -21 = -2 quanto o denominador são polinômios de grau 1.
Quando os graus são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Ou seja:
Conclusão: A assíntota horizontal é a linha .

Passo 4

Com as assíntotas encontradas, vamos dar uma olhada em como a função se comporta perto delas para esboçar o gráfico. Sabemos que a função vai “se aproximar” dessas linhas, mas nunca as toca.
Além disso, para ajudar no desenho, vamos calcular alguns pontos da função em valores específicos de .

Passo 5

Vamos calcular f(0) = -2 times 00 - 3 = -0-3 = 0 para alguns valores de f(4) = -2 times 44 - 3 = -81 = -8 :
  • Para f(2) = -2 times 22 - 3 = -4-1 = 4 :
    Ponto:
  • Para :
    Ponto:
  • Para :
    Ponto:
Esses pontos nos dão uma ideia de como a função se comporta em relação às assíntotas.

Resposta

As assíntotas da função são:
  • Assíntota vertical:
  • Assíntota horizontal:
Além disso, o gráfico da função passa pelos pontos , e , e se aproxima dessas assíntotas conforme vai para mais ou menos infinito.

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