Considere a sucessão
definida por
com
. Mostre se
convergente ou não. Se for convergente, determine o seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência definida por $ a_n = a^{n} $ onde $ -1 < a < 1 $. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa sequência chega a um número específico quando $ n $ fica bem grande, tipo indo para o infinito. Pra resolver isso, vamos precisar entender o que é convergência de uma sequência e como calcular o limite dela.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma sequência convergente. Uma sequência é convergente se, conforme $ n $ aumenta, os termos $ a_n $ se aproximam cada vez mais de um certo número, que chamamos de limite da sequência. Se isso acontecer, a gente diz que a sequência converge para esse limite.
Passo 3
Agora, vamos analisar a nossa sequência $ a_n = a^{n} $. Sabemos que $ a $ está entre -1 e 1, ou seja, $ -1 < a < 1 $. Isso significa que o valor absoluto de $ a $ é menor que 1: $ |a| < 1 $. Quando uma base com valor absoluto menor que 1 é elevada a potências crescentes, o resultado tende a ficar menor e menor, chegando perto de zero.
Passo 4
Vamos formalizar isso. Como $ |a| < 1 $, podemos dizer que conforme $ n $ cresce, $ a^n $ vai diminuindo. Por exemplo, se $ a = 0.5 $, então:
Cada vez que $ n $ aumenta, $ a_n $ fica mais próximo de zero. O mesmo vale se $ a $ for negativo, pois o valor absoluto ainda é menor que 1 e a sequência também vai se aproximando de zero, apesar das oscilações de sinal.
Resposta
A sequência $ \left(a_{n}\right) $ é convergente e seu limite é 0.