Calcule a derivada f^prime(x) e ache seu valor para o x pedido:
(a) f(x)=e^xx^3 / 2 em x=2;
(b) f(x)=e^2 x em x=0;
© f(x)=e^x(x+1)^2 em x=2;
(d) f(x)=csc (x)-4 raizx+7 em x=1;
(e) f(x)=1-sec (x)tan (x) em x=pi / 4;
(f) f(x)=cos (e^2 x) em x=pi;
(g) f(x)=ln (e^x+1) em x=2;
(h) f(x)=log 5(x+2) em x=0;
(i) f(x)=3^2 x em x=0;

Passo 1

O enunciado pede, para cada função f(x) dos itens (a) a (i), calcular a derivada f′(x) e depois avaliar essa derivada no valor de x indicado. Vamos usar as regras de derivação: quociente, produto, cadeia, e as derivadas de funções exponenciais, trigonométricas e logarítmicas.

Passo 2

No item (a), temos f(x)= e^xx^3/2. Aplicando a regra do quociente com N= e^x e D= x^3/2:
f'(x)=N'cdot D - Ncdot D'D^2 =e^xcdot x^3/2 - e^xcdot 32x^1/2x^3 =e^xl(x-tfrac32r)x^5/2
Avalia em x=2:
f'(2)=e^2l(2-tfrac32r)2^5/2=e^28raiz2

Passo 3

No item (b), f(x)= e^2x. É aplicação direta da regra da cadeia (a derivada de e^{u} é e^{u}u’):
f'(x)=e^2xcdot(2)=2e^2x
Avalia em x=0:
f'(0)=2e^0=2

Passo 4

No item ©, f(x)= e^x(x+1)^2. Aqui usamos a regra do produto com u=e^x e v=(x+1)^2:
f'(x)=u'v+uv'=e^x(x+1)^2+e^xcdot2(x+1)=e^x(x+1)l((x+1)+2r)=e^x(x+1)(x+3)
Avalia em x=2:
f'(2)=e^2cdot3cdot5=15e^2

Passo 5

No item (d), f(x)= csc x-4raizx+7. Derivando termo a termo:
ddxcsc x=-csc xcot x, ddx(4raizx)=4cdot12raizx=2raizx, ddx(7)=0
Logo:
f'(x)=-csc xcot x-2raizx
Avalia em x=1:
f'(1)=-csc(1)cot(1)-2

Passo 6

No item (e), f(x)= 1-sec xtan x. Aplicamos a regra do quociente com N=1-\sec x e D=\tan x:
N'=-sec xtan x, D'=sec^2 x,
f'(x)=N'cdot D - Ncdot D'D^2 =-sec xtan xcdottan x-(1-sec x)sec^2 xtan^2 x
Avalia em x= pi/4 (onde tan=1 e sec=raiz2):
f'l(tfracpi4r)=-raiz2cdot1-(1-raiz2)cdot21^2=raiz2-2

Passo 7

No item (f), f(x)= cos(e^2x). Usamos cadeia duas vezes:
f'(x)=-sin(e^2x)cdotddx(e^2x)=-sin(e^2x)cdot2e^2x
Avalia em x= pi:
f'(pi)=-2e^2pisinl(e^2pir)

Passo 8

No item (g), f(x)= ln(e^x+1). Regra da cadeia para ln:
f'(x)=1e^x+1cdot e^x=e^xe^x+1
Avalia em x=2:
f'(2)=e^2e^2+1

Passo 9

No item (h), f(x)= log5(x+2). Derivada do logaritmo de base a:
f'(x)=1(x+2)ln5
Avalia em x=0:
f'(0)=12ln5

Passo 10

No item (i), f(x)= 3^2x. Escrevemos como e^{2x\ln3} e aplicamos cadeia:
f'(x)=e^2xln3cdot2ln3=2ln3cdot3^2x
Avalia em x=0:
f'(0)=2ln3

Resposta

(a) f'(2)=tfrace^28raiz2; (b) f'(0)=2; © f'(2)=15e^2; (d) f'(1)=-csc(1)cot(1)-2; (e) f'(pi/4)=raiz2-2; (f) f'(pi)=-2e^2pisin(e^2pi); (g) f'(2)=tfrace^2e^2+1; (h) f'(0)=tfrac12ln5; (i) f'(0)=2ln3.

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