[2,5 pts.] Determine uma curva no plano que satisfaz a equação’diferencial
PL
e que passa pelo ponto
. Esta curva é a única solução?
PL
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial no plano
e encontrar a curva que passa por
.
Conteúdo: ODE de primeira ordem que não é exata à primeira vista, mas admite fator integrante. Vamos achar esse fator, tornar a equação exata, integrar e aplicar a condição inicial.
Conteúdo: ODE de primeira ordem que não é exata à primeira vista, mas admite fator integrante. Vamos achar esse fator, tornar a equação exata, integrar e aplicar a condição inicial.
Passo 2
Verificamos que
Calculamos
e
.
Como não são iguais, procuramos um fator integrante dependendo só de
, usando
Como não são iguais, procuramos um fator integrante
Logo
.
Passo 3
Multiplicamos a equação original por
, obtendo
que é exata. Há uma função potencial
tal que
Para achar
, integramos
em
:
Derivando em
,
que deve coincidir com
. Assim
e
é constante.
Passo 4
A constante de primeira integral vem de
Impondo
dá
logo
. A solução implícita é
Passo 5
Da condição
surgem duas famílias de soluções singulares:
Como queremos a curva que passa por
, a única opção é
.
Quanto à unicidade: em torno de
o termo
no denominador de
é não nulo, garantindo existência e unicidade local.
Resposta
A curva é
única solução que passa por
num vizinhança desse ponto.