[2,5 pts.] Determine uma curva no plano que satisfaz a equação’diferencial
PL
(y-2 x) d x+x(y-x+1) d y=0
e que passa pelo ponto (x, y)=(1,1). Esta curva é a única solução?

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial no plano
(y-2x),dx + x(y - x + 1),dy = 0
e encontrar a curva que passa por (x,y)=(1,1).
Conteúdo: ODE de primeira ordem que não é exata à primeira vista, mas admite fator integrante. Vamos achar esse fator, tornar a equação exata, integrar e aplicar a condição inicial.

Passo 2

Verificamos que
M(x,y)=y-2x, N(x,y)=x(y - x + 1)
Calculamos
partial M/partial y = 1 e
partial N/partial x = (y - x +1) + x(-1)=y -2x +1.
Como não são iguais, procuramos um fator integrante mu(y) dependendo só de y, usando
partial N/partial x - partial M/partial yM =(y-2x+1)-1y-2x =y-2xy-2x=1
Logo mu(y)=exp!l(integral 1,dyr)=e^y.

Passo 3

Multiplicamos a equação original por e^y, obtendo
e^y(y-2x),dx + e^y,x(y - x + 1),dy = 0,
que é exata. Há uma função potencial Psi(x,y) tal que
Psix = e^y(y-2x), Psiy = e^y,x(y - x + 1)
Para achar Psi, integramos Psix em x:
Psi(x,y) =integral e^y(y-2x),dx =e^yl(yx - x^2r) + h(y)
Derivando em y,
Psiy =e^yl(yx - x^2r) + e^ycdot x + h'(y) =e^y,x(y - x +1)+h'(y),
que deve coincidir com e^y,x(y - x +1). Assim h'(y)=0 e h é constante.

Passo 4

A constante de primeira integral vem de
Psi(x,y) =e^yl(xy - x^2r)=C
Impondo (x,y)=(1,1)
e^1l(1cdot1 -1^2r)=e(1-1)=0,
logo C=0. A solução implícita é
e^y,x(y-x)=0 Longrightarrow x(y-x)=0

Passo 5

Da condição x(y-x)=0 surgem duas famílias de soluções singulares:
(i) x=0, (ii) y=x
Como queremos a curva que passa por (1,1), a única opção é y=x.
Quanto à unicidade: em torno de (1,1) o termo x(y-x+1) no denominador de dydx=-(y-2x)/[x(y-x+1)] é não nulo, garantindo existência e unicidade local.

Resposta

A curva é
boxedy=x,
única solução que passa por (1,1) num vizinhança desse ponto.

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