Determine, se possível, as constantes a e b in R, de modo que f seja contínua em x0, sendo:
f(x)=cb x^2+2, x neq 1 b^2, x=1, x0=1

Passo 1

O enunciado define uma função por partes
f(x)= a,x^2+2, & xneq1, b^2, & x=1,
e pede para achar a,binR de modo que f seja contínua em x0=1.
Para isso vamos usar o conceito de continuidade: limxto1f(x)=f(1).

Passo 2

Calcular o valor de f(1).
Pela definição em x=1 vale
f(1)=b^2

Passo 3

Calcular limxto1f(x).
Como para xneq1 temos f(x)=a,x^2+2, e essa expressão é contínua em todo lado, basta substituir x=1:
limxto1f(x) =limxto1l(a,x^2+2r) =acdot1^2+2 =a+2

Passo 4

Impor a condição de continuidade em x=1:
limxto1f(x)=f(1) Longrightarrow a+2 = b^2

Passo 5

Resolver a relação a+2=b^2.
Isso dá
a = b^2-2
Não há restrição extra além de a,binR, pois b^2-2 é real para todo b real.

Resposta

Todas as soluções (a,b) que tornam f contínua em x=1 satisfazem
a = b^2-2

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