[2.5 pts] Um fio de 60 cm de comprimento é percorrido por uma corrente de 0,80 \mathrm{~A} no sentido positivo do eixo x na presença de um campo magnético \vec{B}=(5,0 \hat{j}+12 \hat{k}) \mathrm{mT}. Em termos dos vetores unitários, qual é a força que o campo magnético exerce sobre o fio?

Passo 1

O enunciado pede: “Em termos dos vetores unitários, qual é a força que o campo magnético exerce sobre o fio?”\n
Dados fornecidos (vou listar exatamente o que temos no enunciado):\n
\, Corrente: I=0,80\\ \mathrm{A}.\n
\, Comprimento do fio: 60\\ \mathrm{cm}=0,60\\ \mathrm{m}. O fio é percorrido pela corrente no sentido positivo do eixo x (ou seja, ao longo de \hat{i}).\n
\, Campo magnético: \vec{B}=5,0\hat{j}+12\hat{k}\\ \mathrm{mT}. (Aqui peguei os componentes diretamente do enunciado: 5,0 mT na direção \hat{j} e 12 mT na direção \hat{k}.)\n
Pergunta final: encontrar \vec{F} em forma com vetores unitários (ex.: a\hat{i}+b\hat{j}+c\hat{k}, com unidades de newton).

Passo 2

Fórmula que usamos (aquela que você precisa decorar e entender):\n
\, A força magnética sobre um fio reto e de comprimento \vec{L} percorrido por corrente I numa região com campo magnético \vec{B} é
\vec{F} = I\,\vec{L}\times\vec{B}.
Explicando as letras: \,I é a corrente (em ampere), \vec{L} é o vetor comprimento do fio, cuja direção é a direção da corrente e cujo módulo é o comprimento do fio (em metros), e \vec{B} é o campo magnético (em tesla). O símbolo \times é o produto vetorial (cross product), que dá um vetor perpendicular aos dois vetores multiplicados e segue regras de sinais entre \hat{i},\hat{j},\hat{k}.

Passo 3

Escrever os vetores em SI (unidades compatíveis):\n
\, Comprimento do fio como vetor: como a corrente vai no sentido positivo de x,
\vec{L}=0,60\\ \hat{i}\\ \mathrm{m}.
\, Campo magnético: converter de mT para T ( 1\\ \mathrm{mT}=10^{-3}\\ \mathrm{T}):
\vec{B} = 5,0\times10^{-3}\,\hat{j} + 12\times10^{-3}\,\hat{k}\\ \mathrm{T}.

Passo 4

Calcular o produto vetorial \vec{L}\times\vec{B} passo a passo usando as regras básicas \hat{i}\times\hat{j}=\hat{k} e \hat{i}\times\hat{k}=-\hat{j}:\n
\, Primeiro escrevemos
\vec{L}\times\vec{B} = \bigl(0,60\hat{i}\bigr) \times \bigl(5,0\times10^{-3}\hat{j} + 12\times10^{-3}\hat{k}\bigr).
\, Distribuindo o produto vetorial:
\vec{L}\times\vec{B} = 0,60\bigl(\hat{i}\times(5,0\times10^{-3}\hat{j})\bigr) + 0,60\bigl(\hat{i}\times(12\times10^{-3}\hat{k})\bigr).
\, Aplicando as regras:
\hat{i}\times\hat{j}=\hat{k}\quad\Rightarrow\quad \hat{i}\times(5,0\times10^{-3}\hat{j})=5,0\times10^{-3}\,\hat{k},
\hat{i}\times\hat{k}=-\hat{j}\quad\Rightarrow\quad \hat{i}\times(12\times10^{-3}\hat{k})= -12\times10^{-3}\,\hat{j}.
\, Logo
\vec{L}\times\vec{B} = 0,60\bigl(5,0\times10^{-3}\,\hat{k} - 12\times10^{-3}\,\hat{j}\bigr).
\, Multiplicando 0,60 pelos componentes:
\vec{L}\times\vec{B} = -7,2\times10^{-3}\,\hat{j} + 3,0\times10^{-3}\,\hat{k}\quad(\text{unidade: m}\cdot\text{T}).
(Detalhe das contas: 0,60\times12\times10^{-3}=7,2\times10^{-3} e 0,60\times5,0\times10^{-3}=3,0\times10^{-3}.)

Passo 5

Agora multiplicamos pelo valor da corrente I=0,80\\ \mathrm{A} para obter a força:\n
\vec{F}=I(\vec{L}\times\vec{B}) = 0,80\bigl(-7,2\times10^{-3}\,\hat{j} + 3,0\times10^{-3}\,\hat{k}\bigr)\\ \mathrm{N}.
Fazendo a multiplicação componente a componente:
\text{componente }\hat{j}: \; 0,80\times(-7,2\times10^{-3}) = -5,76\times10^{-3},
\text{componente }\hat{k}: \; 0,80\times(3,0\times10^{-3}) = 2,40\times10^{-3}.
Portanto
\vec{F} = -5,76\times10^{-3}\,\hat{j} + 2,40\times10^{-3}\,\hat{k}\\ \mathrm{N}.
Cheque rápido: unidades ficam em newton; sinal negativo em \hat{j} indica que a força tem componente negativa na direção y, o que faz sentido pela regra da mão direita aplicada ao produto vetorial.

Resposta

\vec{F} = -5,76\times10^{-3}\,\hat{j} + 2,40\times10^{-3}\,\hat{k}\\ \mathrm{N}

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