Considere um sistema unidimensional cuja energia potencial é dada por (1).
U(x)=x^{3}-2 x^{2}-x+2
(a) Construa o gráfico de U.
(b) Em que posições o sistema encontra-se em equilíbrio?
(c) O equilíbrio do sistema é estável, instável ou ambos?
(d) Em que posições a força é nula?

Passo 1

O enunciado dá a energia potencial unidimensional
U(x)=x^{3}-2 x^{2}-x+2
e pede:
(a) construir o gráfico de U;\n
(b) informar em que posições o sistema se encontra em equilíbrio;\n
(c) dizer se o equilíbrio é estável, instável ou ambos;\n
(d) indicar em que posições a força é nula.\n
Informações relevantes fornecidas: a expressão explícita de U(x) para todo x\in\mathbb{R}. Nada mais foi dado.

Passo 2

Princípios e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • A força associada à energia potencial unidimensional é dada por
F(x) = -\frac{dU}{dx}.
Isto significa que a força em cada posição é o negativo da inclinação da curva U(x). Se a curva sobe, a força é negativa; se a curva desce, a força é positiva — intuitivamente a força tende a levar o sistema “para baixo” na paisagem de energia.
  • Um ponto de equilíbrio é uma posição onde a força é nula, ou seja onde
\frac{dU}{dx}=0.
  • Para classificar estabilidade usamos a segunda derivada:
    • Se em um ponto crítico x_0 tivermos \frac{d^{2}U}{dx^{2}}\big|_{x_0}>0, U tem mínimo local ali e o equilíbrio é estável (pequenos deslocamentos geram força restauradora para voltar).
    • Se \frac{d^{2}U}{dx^{2}}\big|_{x_0}<0, U tem máximo local e o equilíbrio é instável (pequeno deslocamento tende a afastar o sistema).
    • Se \frac{d^{2}U}{dx^{2}}\big|_{x_0}=0, o teste é inconclusivo e é preciso analisar termos de ordem superior (não ocorre aqui).

Passo 3

Calcular as derivadas e achar pontos críticos.
  • Derivada primeira:
\frac{dU}{dx}=U'(x)=3x^{2}-4x-1.
(Obtida derivando termo a termo: \frac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}, \frac{d}{dx}(-2x^{2})=-4x, \frac{d}{dx}(-x)=-1, constante some.)
  • Resolver U'(x)=0:
3x^{2}-4x-1=0.
Usamos a fórmula quadrática:
x=\frac{4\pm\sqrt{(-4)^{2}-4\cdot3\cdot(-1)}}{2\cdot3}=\frac{4\pm\sqrt{16+12}}{6}=\frac{4\pm\sqrt{28}}{6}=\frac{2\pm\sqrt{7}}{3}.
Aproximações numéricas:
x_{1}=\frac{2-\sqrt{7}}{3}\approx -0,2153,\qquad x_{2}=\frac{2+\sqrt{7}}{3}\approx 1,5486.
Esses são os pontos onde U'(x)=0, portanto candidatos a equilíbrios e também as posições onde a força é nula (responde parcialmente (b) e (d)).

Passo 4

Classificação da estabilidade com a segunda derivada.
  • Derivada segunda:
U''(x)=6x-4.
  • Avaliamos em x_{1}:
U''(x_{1})=6\left(\frac{2-\sqrt{7}}{3}\right)-4=2(2-\sqrt{7})-4=-4-2\sqrt{7}+4=-2\sqrt{7}<0,
portanto U''(x_{1})<0. Conclusão: em x_{1} a função tem máximo local e o equilíbrio é instável.
  • Avaliamos em x_{2}:
U''(x_{2})=6\left(\frac{2+\sqrt{7}}{3}\right)-4=2(2+\sqrt{7})-4=4+2\sqrt{7}-4=2\sqrt{7}>0,
portanto U''(x_{2})>0. Conclusão: em x_{2} a função tem mínimo local e o equilíbrio é estável.
Comentário físico simples: se você colocar a bola numa concavidade (mínimo de U) ela tende a voltar — estável; se colocar em cima de um cume (máximo de U) qualquer empurrãozinho a derruba — instável. Aqui existem ambos os tipos, em posições diferentes.

Passo 5

Elementos para construir o gráfico de U(x) (orientações passo a passo para desenhar à mão):
  1. Zeros (interceptos em y=0): fatoramos o polinômio. Como U(1)=0, dividimos por (x-1) e obtemos
U(x)=(x-1)(x^{2}-x-2)=(x-1)(x-2)(x+1).
Logo as raízes são x=-1, x=1 e x=2. Marque esses pontos no eixo x.
2. Pontos críticos (já calculados): x_{1}\approx -0,2153 (máximo local) e x_{2}\approx 1,5486 (mínimo local). Calcule os valores de U nesses pontos para posicionar verticalmente:
U(x_{1})\approx 2{,}1126,\qquad U(x_{2})\approx -0{,}6303.
  1. Intercepto em y: U(0)=2. Marque (0,2); note que o máximo local U(x_{1}) fica um pouco acima de 2.
  2. Comportamento nas extremidades: como termo líder é x^{3} com coeficiente positivo, temos \lim_{x\to -\infty}U(x)=-\infty e \lim_{x\to+\infty}U(x)=+\infty. Assim a curva vem de baixo à esquerda, cruza em x=-1, sobe até o máximo em x_{1}, desce cruzando em x=1, atinge o mínimo em x_{2}, sobe novamente e cruza em x=2 indo para +\infty.
  3. Com esses pontos e tendências você consegue traçar um esboço preciso: marca os três zeros, o máximo entre -1 e 1 em cerca de x=-0,215 com U\approx2{,}11, e o mínimo entre 1 e 2 em x\approx1{,}55 com U\approx-0{,}63.

Passo 6

Resposta à pergunta (d) e ligação com (b):
  • A força é nula onde F(x)=-U'(x)=0, isto é onde U'(x)=0. Já resolvemos isso: as posições são
x=\frac{2\pm\sqrt{7}}{3}\approx -0{,}2153\quad\text{e}\quad 1{,}5486.
Essas mesmas posições são os equilíbrios pedidos em (b).

Resposta

(a) Esboço do gráfico: curva cúbica com zeros em x=-1,\,1,\,2; vem de -\infty à esquerda, cruza em x=-1, atinge máximo local em x\!=\!(2-\sqrt{7})/3\approx -0{,}2153 com U\approx 2{,}1126, desce cruzando em x=1, atinge mínimo local em x\!=\!(2+\sqrt{7})/3\approx 1{,}5486 com U\approx -0{,}6303, e sobe para +\infty para x\to+\infty.
(b) Equilíbrios em x=\dfrac{2\pm\sqrt{7}}{3} (aprox. -0{,}2153 e 1{,}5486).
(c) Ambos: x=\dfrac{2-\sqrt{7}}{3} é equilíbrio instável (máximo local); x=\dfrac{2+\sqrt{7}}{3} é equilíbrio estável (mínimo local).
(d) A força é nula em x=\dfrac{2\pm\sqrt{7}}{3} (as mesmas posições dos equilíbrios).

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