O módulo J(r) da densidade de corrente em um fio cilíndrico \operatorname{com} 3,6 \mathrm{~m} de comprimento 2.5 mm de raio é dado por J(r)=B r^{2}. onde r é a distância do centro do fio em metros e B=1,6 \times 10^{11} \mathrm{~A} / \mathrm{m}^{4}. Calcule:
(a) [1.0 \mathrm{pt}] a corrente que passa pelo fio:
(b) [1.0 \mathrm{pt}] a resistência do fio;
(c) [0.5 \mathrm{pt}] a energia que ele dissipa durante uma hora.
[Dado: resistividade do fio nas condições citadas é \rho=1,7 \times 10^{-8} \Omega.m.]
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos de dados.
Pedidos:
(a) calcular a corrente que passa pelo fio;
(b) calcular a resistência do fio;
(c) calcular a energia dissipada em uma hora.
Dados fornecidos:
comprimento do fio: L=3,6\\ \mathrm{m};
raio do fio: R=2,5\times10^{-3}\\ \mathrm{m} (converti 2{,}5\\ \mathrm{mm} para metros);
densidade de corrente (módulo) como função da distância ao centro: J(r)=B\,r^{2}, com B=1,6\times10^{11}\\ \mathrm{A}/\mathrm{m}^{4};
resistividade do material: \rho=1,7\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.
Observação: todos os valores numéricos usados abaixo vêm do enunciado.
Passo 2
Entendendo o conceito que usamos para achar a corrente total: densidade de corrente e integração sobre a seção transversal.
O que é densidade de corrente J(r)? É a corrente por unidade de área em cada ponto da seção. Se dI é a corrente que passa por um anel de raio r e espessura dr, entãodI = J(r)\,dA.
Para uma seção circular, o elemento de área do anel de raio r e espessura dr édA = 2\pi r\,dr.Explicação curta: a circunferência do anel é 2\pi r e a “largura” é dr, então área aproximada 2\pi r\,dr.
Portanto a corrente total I é a integral de J(r) sobre toda a seção (de r=0 até r=R):I=\int_{A} J\,dA=\int_{0}^{R} J(r)\,2\pi r\,dr.
Passo 3
Calcular explicitamente a integral usando J(r)=B r^{2}.
Substituindo:I=\int_{0}^{R} B r^{2}\cdot 2\pi r\,dr = 2\pi B \int_{0}^{R} r^{3}\,dr.
Resolver a integral:\int_{0}^{R} r^{3}\,dr = \left.\frac{r^{4}}{4}\right|_{0}^{R}=\frac{R^{4}}{4}.
LogoI = 2\pi B \cdot \frac{R^{4}}{4} = \frac{\pi}{2} B R^{4}.
Agora substituímos números (mostrando cada passo):R^{4}=(2{,}5\times10^{-3})^{4}=3{,}90625\times10^{-11}\\ \mathrm{m}^{4}.
B R^{4}=1{,}6\times10^{11}\times 3{,}90625\times10^{-11}=6{,}25.
Explicando a fórmula da resistência e calculando a resistência do fio.
Teoria: para um condutor homogêneo de comprimento L e seção transversal de área A, a resistência elétrica é dada porR_{\text{fio}}=\rho\frac{L}{A},onde \rho é a resistividade. Aqui a seção é circular, entãoA=\pi R^{2}.
Calculando a área:R^{2}=(2{,}5\times10^{-3})^{2}=6{,}25\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^{2},
Agora a resistência:R_{\text{fio}}=\frac{\rho L}{A}=\frac{1{,}7\times10^{-8}\cdot 3{,}6}{1{,}9634954\times10^{-5}} \approx 3{,}12\times10^{-3}\\ \Omega.
Passo 5
Energia dissipada em uma hora — conceito e cálculo.
Conceito: potência dissipada por efeito Joule em um resistor éP=I^{2}R_{\text{fio}}.A energia dissipada durante um intervalo de tempo t éE = P\,t = I^{2}R_{\text{fio}}\,t.
Usamos t=1\\ \mathrm{h}=3600\\ \mathrm{s}. Substituindo os valores numéricos (usando I e R_{\text{fio}} obtidos antes):I^{2}\approx (9{,}8175)^{2}\approx 96{,}38\\ \mathrm{A}^{2},
Interpretação breve: o fio conduz cerca de 10\\ \mathrm{A}, sua resistência é pequena (\sim 3{,}10^{-3}\\ \Omega), então a potência dissipada é pequena (~0,3 W) e em uma hora isso dá ~1{,}08\times10^{3}\\ \mathrm{J}.