[2,0 pts] Um homem tem um certo capital que aumenta a uma taxa inversamente proporcional ao seu valor instantâneo, ou seja, \frac{d y}{d t}=\frac{k}{y}. Se o homem tivesse 1000 reais a 3 meses atrás e 2000 hoje, quanto terá daqui a um ano? Sugestão para que os números não fiquem muito grandes: considere y dado em mil reais e t dado em anos.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dy}{dt}=\frac{k}{y},
onde y é o capital medido em mil reais e t é o tempo em anos. Os dados fornecidos são: há 3 meses atrás o capital era 1000 reais e hoje é 2000 reais. A pergunta é: quanto ele terá daqui a um ano (a partir de hoje)?\n
Dados traduzidos para as unidades pedidas:
\text{3 meses} = 0,25\\ \text{anos},
y(-0,25)=1\quad(\text{pois }1000\\ \text{reais}=1\\ \text{mil}),
y(0)=2\quad(\text{pois }2000\\ \text{reais}=2\\ \text{mil}).
Queremos y(1) (um ano a partir de hoje), e depois converter para reais.

Passo 2

Vamos resolver a equação diferencial. Esta é uma equação separável: podemos colocar todos os termos com y de um lado e todos os termos com t do outro. Começamos multiplicando ambos os lados por y e por dt:
y\,dy = k\,dt.
Agora integramos ambos os lados em relação às suas variáveis.

Passo 3

Integração das duas partes. Usamos a regra básica de integração \int y\,dy = \tfrac{1}{2}y^2 + C e \int k\,dt = kt + C. Fazendo a integração obtemos:
\frac{1}{2}y^2 = kt + C,
onde C é a constante de integração. Aqui \tfrac{1}{2}y^2 significa “um meio vezes y ao quadrado” e kt é a constante k multiplicada por t.

Passo 4

Usamos a condição em t=0 (hoje) para encontrar C. Sabemos y(0)=2. Substituindo:
\frac{1}{2}\cdot 2^2 = k\cdot 0 + C \implies \frac{1}{2}\cdot 4 = C \implies C=2.
Portanto a solução geral com a constante determinada fica:
\frac{1}{2}y^2 = kt + 2.

Passo 5

Agora usamos a condição de 3 meses atrás: y(-0,25)=1. Substituímos na equação para achar k:
\frac{1}{2}\cdot 1^2 = k(-0,25) + 2.
Calculando passo a passo:
\frac{1}{2}\cdot 1 = 0,5,
então
0,5 = -0,25k + 2.
Isolando k:
-0,25k = 0,5 - 2 = -1,5,
k = \frac{-1,5}{-0,25} = 6.

Passo 6

Com k=6 e C=2 a solução explícita é:
\frac{1}{2}y^2 = 6t + 2 \quad\Longrightarrow\quad y^2 = 12t + 4.
Como y representa capital positivo, tomamos a raiz positiva:
y(t)=\sqrt{12t+4}.

Passo 7

Calculamos o capital daqui a um ano (ou seja, para t=1):
y(1)=\sqrt{12\cdot 1 + 4} = \sqrt{16} = 4.
Lembre que y está em mil reais, então y(1)=4 significa 4 mil reais, isto é 4000 reais.

Resposta

4000 reais

Exercícios relacionados