[2,0 pts] Um homem tem um certo capital que aumenta a uma taxa inversamente proporcional ao seu valor instantâneo, ou seja,
. Se o homem tivesse 1000 reais a 3 meses atrás e 2000 hoje, quanto terá daqui a um ano? Sugestão para que os números não fiquem muito grandes: considere
dado em mil reais e
dado em anos.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
onde
é o capital medido em mil reais e
é o tempo em anos. Os dados fornecidos são: há 3 meses atrás o capital era
reais e hoje é
reais. A pergunta é: quanto ele terá daqui a um ano (a partir de hoje)?\n
Dados traduzidos para as unidades pedidas:
Dados traduzidos para as unidades pedidas:
Queremos
(um ano a partir de hoje), e depois converter para reais.
Passo 2
Vamos resolver a equação diferencial. Esta é uma equação separável: podemos colocar todos os termos com
de um lado e todos os termos com
do outro. Começamos multiplicando ambos os lados por
e por
:
Agora integramos ambos os lados em relação às suas variáveis.
Passo 3
Integração das duas partes. Usamos a regra básica de integração
e
. Fazendo a integração obtemos:
onde
é a constante de integração. Aqui
significa “um meio vezes
ao quadrado” e
é a constante
multiplicada por
.
Passo 4
Usamos a condição em
(hoje) para encontrar
. Sabemos
. Substituindo:
Portanto a solução geral com a constante determinada fica:
Passo 5
Agora usamos a condição de 3 meses atrás:
. Substituímos na equação para achar
:
Calculando passo a passo:
então
Isolando
:
Passo 6
Com
e
a solução explícita é:
Como
representa capital positivo, tomamos a raiz positiva:
Passo 7
Calculamos o capital daqui a um ano (ou seja, para
):
Lembre que
está em mil reais, então
significa
mil reais, isto é
reais.