12 O lucro mensal da loja de carros Carro Bom é dado por
, em que
representa a quantidade de carros vendidos durante um mês. Determine em que situação o lucro será igual a zero.
Passo 1
O enunciado dá a função lucro mensal
, em que
representa a quantidade de carros vendidos num mês. A pergunta é: em que situação o lucro será igual a zero? Ou seja, para quais valores de
temos
?
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A função do lucro é
.\n - A incógnita
é a quantidade de carros vendidos (logo, valores não negativos e na prática inteiros).\n - Precisamos encontrar os valores de
que anulam .
Passo 2
O que significa achar onde o lucro é zero? Significa resolver a equação
. Isso nos dá uma equação quadrática (tem
). Uma equação quadrática geral tem a forma
. Aqui, depois de manipular, veremos quais são
,
e
.
Uma explicação curtinha sobre quadráticas (didática):
Uma explicação curtinha sobre quadráticas (didática):
-
é o coeficiente de , é o coeficiente de e é o termo constante. - As raízes (valores de
que tornam a expressão zero) podem ser encontradas por fatoração quando é possível, ou pela fórmula de Bhaskara (a fórmula quadrática). - O discriminante
indica se as raízes são reais ( ) ou complexas ( ).
Vamos aplicar isso ao nosso caso.
Passo 3
Escrevendo a equação que queremos resolver:
Para facilitar, multiplico ambos os lados por
(isso não muda as soluções):
Aqui, comparando com
, temos
,
(note o sinal já na forma) e
. Agora tentaremos fatorar: precisamos de dois números cujo produto seja
e cuja soma seja
(porque a forma é
, então o termo médio é
). Procurando fatores de
:
e
. Isso bate direitinho. Então a fatoração é
Passo 4
Se
, pelo princípio do produto nulo, pelo menos um dos fatores deve ser zero. Portanto:
Assim obtemos as soluções
Passo 5
Interpretação prática e verificação rápida:
é número de carros vendidos, então
e
são vendas que levam o lucro a zero. Ambas são números não negativos e inteiros, portanto fazem sentido no contexto do problema. Como a parábola tem coeficiente de
negativo (lembre que originalmente era
), o lucro é positivo para valores de
entre
e
e negativo fora desse intervalo — só uma observação extra para você entender o comportamento do lucro.