12 O lucro mensal da loja de carros Carro Bom é dado por L(x)=-x^{2}+80 x-700, em que \mathbf{x} representa a quantidade de carros vendidos durante um mês. Determine em que situação o lucro será igual a zero.

Passo 1

O enunciado dá a função lucro mensal L(x) = -x^{2} + 80x - 700, em que x representa a quantidade de carros vendidos num mês. A pergunta é: em que situação o lucro será igual a zero? Ou seja, para quais valores de x temos L(x)=0?
Informações relevantes:
  • A função do lucro é \;L(x)=-x^{2}+80x-700.\n
  • A incógnita \;x é a quantidade de carros vendidos (logo, valores não negativos e na prática inteiros).\n
  • Precisamos encontrar os valores de \;x que anulam L(x).

Passo 2

O que significa achar onde o lucro é zero? Significa resolver a equação \;L(x)=0. Isso nos dá uma equação quadrática (tem \;x^{2}). Uma equação quadrática geral tem a forma \;ax^{2}+bx+c=0. Aqui, depois de manipular, veremos quais são a, b e c.
Uma explicação curtinha sobre quadráticas (didática):
  • a é o coeficiente de \;x^{2}, b é o coeficiente de \;x e c é o termo constante.
  • As raízes (valores de x que tornam a expressão zero) podem ser encontradas por fatoração quando é possível, ou pela fórmula de Bhaskara (a fórmula quadrática).
  • O discriminante \;\Delta = b^{2}-4ac indica se as raízes são reais ( \Delta\ge 0) ou complexas ( \Delta<0).
Vamos aplicar isso ao nosso caso.

Passo 3

Escrevendo a equação que queremos resolver:
-x^{2}+80x-700=0.
Para facilitar, multiplico ambos os lados por -1 (isso não muda as soluções):
x^{2}-80x+700=0.
Aqui, comparando com \;ax^{2}+bx+c=0, temos \;a=1, \;b=-80 (note o sinal já na forma) e \;c=700. Agora tentaremos fatorar: precisamos de dois números cujo produto seja \;700 e cuja soma seja \;80 (porque a forma é x^{2}-80x+700, então o termo médio é -80x). Procurando fatores de 700: \;700=10\cdot70 e 10+70=80. Isso bate direitinho. Então a fatoração é
x^{2}-80x+700 = (x-10)(x-70).

Passo 4

Se (x-10)(x-70)=0, pelo princípio do produto nulo, pelo menos um dos fatores deve ser zero. Portanto:
x-10=0 \quad\text{ou}\quad x-70=0.
Assim obtemos as soluções
x=10 \quad\text{ou}\quad x=70.

Passo 5

Interpretação prática e verificação rápida: \;x é número de carros vendidos, então x=10 e x=70 são vendas que levam o lucro a zero. Ambas são números não negativos e inteiros, portanto fazem sentido no contexto do problema. Como a parábola tem coeficiente de \;x^{2} negativo (lembre que originalmente era -x^{2}), o lucro é positivo para valores de x entre \;10 e \;70 e negativo fora desse intervalo — só uma observação extra para você entender o comportamento do lucro.

Resposta

\;x=10 ou \;x=70

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