[2,0 pts] Encontre a solução do problema de valor inicial
O(x) \quad Q(x)
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}+2 y=x e^{-2 x} \\ y(1)=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial com condição inicial e pede a solução que satisfaz essa condição. As informações dadas são:
\begin{cases} y'(x)+2\,y(x)=x e^{-2x},\\[4pt] y(1)=0. \end{cases}
O que precisamos encontrar é a função y(x) que satisfaz a equação diferencial para todo x (no intervalo em que a solução existe) e que verifica a condição inicial y(1)=0.]

Passo 2

Método que vamos usar (explicação didática): para equações da forma
y'+p(x)\,y=q(x)
existe uma técnica chamada fator integrante. A ideia é multiplicar a equação por uma função \mu(x) tal que o lado esquerdo se torne a derivada de um produto, isto é:
\mu(x)\big(y'+p(x)y\big)=(\mu(x)y)'.
Para que isso aconteça precisamos que \mu satisfaça \mu'(x)=p(x)\mu(x). Resolvendo essa equação obtemos
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.
Depois de multiplicar por \mu integra-se ambos os lados e isola-se y. Vou aplicar isso passo a passo ao nosso problema.

Passo 3

Identificamos em nossa equação p(x)=2 e q(x)=x e^{-2x}. Calculamos o fator integrante \mu(x):
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}=e^{\int 2\,dx}=e^{2x}.
Aqui cada símbolo significa: p(x) é o coeficiente de y na equação linear, \mu(x) é o fator integrante que torna o lado esquerdo uma derivada.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=e^{2x}. O lado esquerdo vira derivada do produto:
e^{2x}\big(y'+2y\big)=(e^{2x}y)',
e o lado direito fica
e^{2x}\cdot x e^{-2x}=x.
Portanto a equação transformada é
(e^{2x}y)'=x.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x. A integral do lado esquerdo é direta porque é a primitiva da derivada:
\int (e^{2x}y)'\,dx = \int x\,dx.
Isso dá
e^{2x}y=\frac{x^{2}}{2}+C,
onde C é a constante de integração. Aqui expliquei: integrar a derivada recupera a função e^{2x}y; a integral de x é \tfrac{x^2}{2}.

Passo 6

Isolamos y dividindo por e^{2x}:
y(x)=\left(\frac{x^{2}}{2}+C\right)e^{-2x}.
Este é o solução geral da equação diferencial (dependendo da constante C).

Passo 7

Agora aplicamos a condição inicial y(1)=0 para determinar C. Substituindo x=1 na expressão geral:
0=y(1)=\left(\frac{1^{2}}{2}+C\right)e^{-2}.
Como e^{-2}\neq 0, temos
\frac{1}{2}+C=0 \quad\Rightarrow\quad C=-\frac{1}{2}.

Passo 8

Substituímos C=-\tfrac{1}{2} na solução geral e simplificamos:
y(x)=\left(\frac{x^{2}}{2}-\frac{1}{2}\right)e^{-2x}=\frac{x^{2}-1}{2}\,e^{-2x}.
Essa é a solução particular que satisfaz y(1)=0.

Passo 9

Verificação rápida (útil na prova): calculando y' pela regra do produto e somando 2y obtemos
y'(x)+2y(x)=x e^{-2x},
confirmando que a função encontrada realmente satisfaz a equação original (os detalhes da derivação seguem do produto e cancelamentos mostrados nos passos anteriores).

Resposta

y(x)=\frac{x^{2}-1}{2}\,e^{-2x}

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