[2,0 pts] Encontre a solução do problema de valor inicial
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial com condição inicial e pede a solução que satisfaz essa condição. As informações dadas são:
O que precisamos encontrar é a função
que satisfaz a equação diferencial para todo
(no intervalo em que a solução existe) e que verifica a condição inicial
.]
Passo 2
Método que vamos usar (explicação didática): para equações da forma
existe uma técnica chamada fator integrante. A ideia é multiplicar a equação por uma função
tal que o lado esquerdo se torne a derivada de um produto, isto é:
Para que isso aconteça precisamos que
satisfaça
. Resolvendo essa equação obtemos
Depois de multiplicar por
integra-se ambos os lados e isola-se
. Vou aplicar isso passo a passo ao nosso problema.
Passo 3
Identificamos em nossa equação
e
. Calculamos o fator integrante
:
Aqui cada símbolo significa:
é o coeficiente de
na equação linear,
é o fator integrante que torna o lado esquerdo uma derivada.
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
. O lado esquerdo vira derivada do produto:
e o lado direito fica
Portanto a equação transformada é
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
. A integral do lado esquerdo é direta porque é a primitiva da derivada:
Isso dá
onde
é a constante de integração. Aqui expliquei: integrar a derivada recupera a função
; a integral de
é
.
Passo 6
Isolamos
dividindo por
:
Este é o solução geral da equação diferencial (dependendo da constante
).
Passo 7
Agora aplicamos a condição inicial
para determinar
. Substituindo
na expressão geral:
Como
, temos
Passo 8
Substituímos
na solução geral e simplificamos:
Essa é a solução particular que satisfaz
.
Passo 9
Verificação rápida (útil na prova): calculando
pela regra do produto e somando
obtemos
confirmando que a função encontrada realmente satisfaz a equação original (os detalhes da derivação seguem do produto e cancelamentos mostrados nos passos anteriores).