(a)
pts
Encontre a solução geral de
.
(b)
pts
Encontre uma solução particular de
.
(c)
Encontre uma solução particular de
.
(d)
pts
Encontre uma solução particular de
.
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
As questões pedem:
(a) Encontre a solução geral da equação homogênea associada (ou seja, com termo à direita igual a zero).
(b) Encontre uma solução particular quando o termo à direita é .
(c) Encontre uma solução particular quando o termo à direita é .
(d) Encontre uma solução particular quando o termo à direita é .
(a) Encontre a solução geral da equação homogênea associada (ou seja, com termo à direita igual a zero).
(b) Encontre uma solução particular quando o termo à direita é
(c) Encontre uma solução particular quando o termo à direita é
(d) Encontre uma solução particular quando o termo à direita é
Informações importantes fornecidas pelo enunciado: a equação diferencial e os diferentes termos forçantes para (b), (c) e (d). Nada mais foi omitido, portanto podemos proceder com resolução direta.
Passo 2
Primeiro vamos resolver a equação homogênea associada (isso é necessário para obter a solução geral da parte (a) e também para tratar ressonâncias ao buscar soluções particulares). A equação homogênea é
A técnica padrão: suponha uma solução da forma
. Substituindo na equação homogênea obtemos a equação característica (polinomial) para
:
Agora resolvemos essa equação quadrática: fatorando,
Logo as raízes são
e
, duas raízes reais distintas. Para esse caso a forma geral da solução da homogênea é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
onde
e
são constantes arbitrárias (determinariam-se com condições iniciais, se houvessem). Pequena explicação didática: cada raiz
da característica gera a solução
; como as raízes são distintas, as duas soluções são linearmente independentes e a solução geral é a combinação linear delas.
Passo 3
Método que usaremos para as partes (b),(c),(d): método dos coeficientes não-determinados. Ideia principal: para uma equação linear com coeficientes constantes, se o termo à direita é tipo polinomial, exponencial, seno/cosseno ou produto desses, então tentamos uma solução particular com uma forma semelhante (mesma família) com constantes desconhecidas a determinar. Se a forma escolhida for solução da homogênea (ressonância), multiplicamos o palpite por
(ou
se a raiz for de multiplicidade
) para obter um palpite que não esteja no espaço das soluções homogêneas. Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 4
Parte (b): termo à direita
. Pelo método dos coeficientes não-determinados, tentamos uma solução particular da forma
onde
e
são constantes a determinar. Agora calculamos as derivadas necessárias:
Substituímos em
e agrupamos termos em
e
:
Agora coletamos coeficientes de
e
:
coeficiente de :
coeficiente de
coeficiente de
:
Como queremos que
seja igual a
(ou seja,
), igualamos coeficientes:
Esse é um sistema linear simples. Somando as duas equações obtemos
, logo
Da segunda equação
segue
então
Portanto uma solução particular para o termo
é
Passo 5
Comentário didático sobre (b): Repare que escolhemos uma combinação de
e
porque a aplicação do operador linear a essas funções fecha no espaço gerado por
e
(as derivadas trocam seno e cosseno). Resolver as equações para
e
é só resolver um pequeno sistema linear. Sempre confira se a forma inicial não coincide com a solução homogênea — aqui não coincide porque
e
não são
nem
.
Passo 6
Parte (c): termo à direita
. Primeiro atenção:
aparece na solução homogênea porque
é raiz da equação característica. Isso é ressonância e exige multiplicar o palpite padrão por
. O palpite padrão seria
, mas como
já é solução homogênea (multiplicidade da raiz é
), tentamos
com
constante a determinar. Calculamos derivadas:
Agora substituímos no operador:
Fatorando
e agrupando termos em
e constantes:
coeficiente de :
coeficiente de
coeficiente constante:
Logo
Queremos isso igual a
, portanto
Assim uma solução particular para o termo
é
Passo 7
Comentário didático sobre (c): a ideia de multiplicar por
vem do fato de que, se o termo for solução da homogênea, qualquer constante vezes essa função já seria anulada pelo operador homogêneo; multiplicar por
cria uma função fora do espaço homogêneo que pode equilibrar o termo forçante. Se a raiz tivesse multiplicidade
e o termo fosse
com
raiz de multiplicidade
, teríamos que multiplicar por
.
Passo 8
Parte (d): o lado direito é soma
. Pelo princípio da superposição (linearidade do operador
), uma solução particular para a soma é a soma das soluções particulares encontradas para cada termo separadamente. Ou seja,
Usando os resultados anteriores,
Se quiséssemos a solução geral da equação não-homogênea com esse lado direito, somaríamos à solução homogênea
obtida no Passo 2:
Mas como o enunciado da parte (d) pede apenas uma solução particular, a expressão acima para
já atende.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)