[2.0 pts] Modelo Dinâmico de Transferência de Oxigênio
Considere a concentração de oxigênio dissolvido, C(t), em um biorreator. Uma modelagem simplificada pode gerar:
8 \frac{d^{3} C}{d t^{3}}+20 \frac{d^{2} C}{d t^{2}}+15 \frac{d C}{d t}+K C=0
onde:
  • C(t) é concentração de oxigênio dissolvido,
  • K é o seu último número de matrícula.
b) Reescrever a Equação 1 em EDOs de ordem 1;

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial ordinária de terceira ordem
8 \frac{d^{3} C}{d t^{3}}+20 \frac{d^{2} C}{d t^{2}}+15 \frac{d C}{d t}+K C=0,
onde C(t) é a concentração e K é um parâmetro (o último número da matrícula). A tarefa é reescrever essa única EDO de ordem 3 como um sistema equivalente de EDOs de ordem 1.
Informações relevantes dadas:
  • A EDO é linear, homogênea e de ordem 3.
  • O coeficiente K é um parâmetro desconhecido (manteremos como K).
  • Não foram dadas condições iniciais (essas, se houver, se traduzem em valores iniciais para as variáveis do sistema).

Passo 2

Ideia do método (explicação didática, sem pular etapas). Para transformar uma EDO de ordem n em um sistema de n EDOs de primeira ordem, define-se novas variáveis de estado igualando-as às derivadas sucessivas da incógnita original. Isso cria um vetor-estado cujas componentes são:
  • a função original,
  • sua primeira derivada,
  • sua segunda derivada,
  • … e assim por diante até a (n-1)-ésima derivada.
Aqui, como a equação é de ordem 3, vamos definir três variáveis:
x_1(t)=C(t),\qquad x_2(t)=\frac{dC}{dt}(t),\qquad x_3(t)=\frac{d^{2}C}{dt^{2}}(t).
Explicação breve do porquê: assim cada equação do sistema vai relacionar a derivada de uma x_i com outras x_j. No final teremos três EDOs de ordem 1 equivalentes à original de ordem 3.

Passo 3

Escrever as derivadas das novas variáveis (passo mecânico). Pelo que definimos:
\frac{d x_1}{dt}=x_2,
\frac{d x_2}{dt}=x_3.
Agora falta expressar \dfrac{d x_3}{dt}=\dfrac{d^{3}C}{dt^{3}} em função de x_1,x_2,x_3. Para isso isolamos \dfrac{d^{3}C}{dt^{3}} na equação original. Começamos dividindo a equação por 8:
\frac{d^{3}C}{dt^{3}}+\frac{20}{8}\frac{d^{2}C}{dt^{2}}+\frac{15}{8}\frac{dC}{dt}+\frac{K}{8}C=0.
Simplificando \dfrac{20}{8}=\dfrac{5}{2}, obtemos
\frac{d^{3}C}{dt^{3}} = -\frac{5}{2}\frac{d^{2}C}{dt^{2}} - \frac{15}{8}\frac{dC}{dt} - \frac{K}{8}C.
Agora substituímos pelas x_i:
\frac{d x_3}{dt} = -\frac{5}{2}\,x_3 - \frac{15}{8}\,x_2 - \frac{K}{8}\,x_1.

Passo 4

Montar o sistema completo e comentar um pouco sobre uso/práticas. Juntando as três equações temos o sistema de primeira ordem
\begin{cases} \displaystyle\frac{d x_1}{dt}=x_2,\\[6pt] \displaystyle\frac{d x_2}{dt}=x_3,\\[6pt] \displaystyle\frac{d x_3}{dt}=-\dfrac{5}{2}x_3-\dfrac{15}{8}x_2-\dfrac{K}{8}x_1. \end{cases}
Comentário prático: esse sistema é equivalente à EDO original. Se precisar resolver numericamente (por exemplo com método de Euler ou Runge–Kutta), é exatamente esse formato que os integradores aceitam: um vetor-estado (x_1,x_2,x_3) com uma função que fornece suas derivadas. Se houver condições iniciais para C(0),C'(0),C''(0), elas viram x_1(0),x_2(0),x_3(0).]

Resposta

\begin{cases} \displaystyle\frac{d x_1}{dt}=x_2,\\[6pt] \displaystyle\frac{d x_2}{dt}=x_3,\\[6pt] \displaystyle\frac{d x_3}{dt}=-\dfrac{5}{2}x_3-\dfrac{15}{8}x_2-\dfrac{K}{8}x_1. \end{cases}

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