[2.0 pts] Modelo Dinâmico de Transferência de Oxigênio
Considere a concentração de oxigênio dissolvido, C(t), em um biorreator. Uma modelagem simplificada pode gerar:
onde C(t) é a concentração e K é um parâmetro (o último número da matrícula). A tarefa é reescrever essa única EDO de ordem 3 como um sistema equivalente de EDOs de ordem 1.
Informações relevantes dadas:
A EDO é linear, homogênea e de ordem 3.
O coeficiente K é um parâmetro desconhecido (manteremos como K).
Não foram dadas condições iniciais (essas, se houver, se traduzem em valores iniciais para as variáveis do sistema).
Passo 2
Ideia do método (explicação didática, sem pular etapas). Para transformar uma EDO de ordem n em um sistema de n EDOs de primeira ordem, define-se novas variáveis de estado igualando-as às derivadas sucessivas da incógnita original. Isso cria um vetor-estado cujas componentes são:
a função original,
sua primeira derivada,
sua segunda derivada,
… e assim por diante até a (n-1)-ésima derivada.
Aqui, como a equação é de ordem 3, vamos definir três variáveis:
Explicação breve do porquê: assim cada equação do sistema vai relacionar a derivada de uma x_i com outras x_j. No final teremos três EDOs de ordem 1 equivalentes à original de ordem 3.
Passo 3
Escrever as derivadas das novas variáveis (passo mecânico). Pelo que definimos:
\frac{d x_1}{dt}=x_2,
\frac{d x_2}{dt}=x_3.
Agora falta expressar \dfrac{d x_3}{dt}=\dfrac{d^{3}C}{dt^{3}} em função de x_1,x_2,x_3. Para isso isolamos \dfrac{d^{3}C}{dt^{3}} na equação original. Começamos dividindo a equação por 8:
Comentário prático: esse sistema é equivalente à EDO original. Se precisar resolver numericamente (por exemplo com método de Euler ou Runge–Kutta), é exatamente esse formato que os integradores aceitam: um vetor-estado (x_1,x_2,x_3) com uma função que fornece suas derivadas. Se houver condições iniciais para C(0),C'(0),C''(0), elas viram x_1(0),x_2(0),x_3(0).]