[2.0 pts] Modelo Dinâmico de Transferência de Oxigênio
Considere a concentração de oxigênio dissolvido, C(t), em um biorreator. Uma modelagem simplificada pode gerar:
8 \frac{d^{3} C}{d t^{3}}+20 \frac{d^{2} C}{d t^{2}}+15 \frac{d C}{d t}+K C=0
onde:
  • C(t) é concentração de oxigênio dissolvido,
  • K é o seu último número de matrícula.
d) Analise a Estabilidade (Estável, Instável ou Neutra). Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear com coeficientes constantes
8 \frac{d^{3} C}{d t^{3}}+20 \frac{d^{2} C}{d t^{2}}+15 \frac{d C}{d t}+K C=0,
onde \,C(t)\, é a concentração e K é um parâmetro (o último número da matrícula). A pergunta é: analisar a estabilidade do sistema — isto é, dizer se o sistema é estável (todas as soluções tendem a zero quando t\to\infty), instável (alguma solução cresce) ou neutro/marginal (não cresce nem decai para zero, por ex. oscilações sustentadas ou termo constante).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • É uma EDO linear homogênea de ordem 3 com coeficientes constantes.
  • Coeficientes numéricos: 8 na derivada terceira, 20 na segunda, 15 na primeira, e K na parte algébrica.
  • A estabilidade será determinada pelos autovalores (raízes do polinômio característico) — precisamos saber o sinal das partes reais dessas raízes em função de K.

Passo 2

Conceito e estratégia (explicação didática):
  • Para uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes, a solução é combinação de termos exponenciais e^{r t} onde r são as raízes do polinômio característico. A estabilidade assintótica exige que todas as partes reais de r sejam negativas.
  • Aqui o polinômio característico é obtido trocando d/dt por r:
8 r^{3}+20 r^{2}+15 r+K=0.
  • Em vez de resolver explicitamente as raízes (o que dá conta, mas é trabalhoso e depende de K), existe um critério prático chamado critério de Routh–Hurwitz que permite verificar estabilidade (todas partes reais negativas) usando apenas os coeficientes do polinômio. Para um polinômio cúbico há uma condição simples e suficiente que vou apresentar e explicar.

Passo 3

Routh–Hurwitz para polinômio cúbico — explicação e fórmula:
  • Considere o polinômio genérico cúbico \,a r^{3}+b r^{2}+c r+d com a>0.
  • O critério de Routh–Hurwitz diz que todas as raízes têm parte real negativa (estabilidade assintótica) se, e somente se, as seguintes condições se verificarem simultaneamente:
    1. b>0,
    2. c>0,
    3. d>0,
    4. b c > a d.
  • Intuição curta: essas condições garantem que, ao construir a tabela de Routh (que organiza combinações lineares dos coeficientes), a primeira coluna seja toda positiva, o que impede mudança de sinal e portanto raízes com parte real positiva.
  • Vamos aplicar diretamente essa condição ao nosso polinômio, identificando a=8, b=20, c=15, d=K.

Passo 4

Aplicação numérica das condições de Hurwitz ao polinômio dado:
  • Checamos as condições fáceis:
    • b=20>0 (ok),
    • c=15>0 (ok).
  • Para d precisamos de d=K>0. Portanto é necessário K>0 para estabilidade.
  • A condição adicional é b c > a d. Substituindo os valores:
20\cdot 15 > 8\cdot K.
Calcule o lado esquerdo:
20\cdot 15 = 300.
Assim a condição torna-se
300 > 8K \quad\Longrightarrow\quad K < \frac{300}{8} = 37{,}5.
  • Conclusão parcial: para que todas as raízes tenham parte real negativa (estabilidade assintótica) é necessário e suficiente que
0 < K < 37{,}5.

Passo 5

Análise dos casos limítrofes e fora da faixa — interpretação detalhada (neutro / instável):
  • Caso K<0: então d=K<0. Pelo sinal alternado dos coeficientes ou pelo critério de Routh (a primeira coluna da tabela tem mudança de sinal) existe pelo menos uma raiz com parte real positiva. Logo o sistema é instável para K<0.
  • Caso K=0: o polinômio fica
8 r^{3}+20 r^{2}+15 r = r(8 r^{2}+20 r+15).
Uma raiz é r=0 (modo constante) e as outras duas são raízes do quadrático 8 r^{2}+20 r+15. O discriminante desse quadrático é
20^{2}-4\cdot 8\cdot 15 = 400-480 = -80 < 0,
logo as duas outras raízes são complexas conjugadas com parte real negativa (porque os coeficientes do quadrático são positivos). Assim há uma raiz exatamente em zero e as demais têm parte real negativa → comportamento marginal (neutro): não há decaimento total (termo constante), mas também não há crescimento exponencial. Classificamos como neutra/marginal para K=0.
  • Caso K=37{,}5: aqui a condição limite b c = a d ocorre. Na tabela de Routh o elemento da linha de r^1 torna-se zero; isso corresponde a um par de raízes puramente imaginárias. Para ver isso formamos o polinômio auxiliar a partir da linha r^2:
20 r^{2} + K = 0.
Com K=37{,}5 obtemos
20 r^{2} + 37{,}5 = 0 \quad\Longrightarrow\quad r^{2} = -\frac{37{,}5}{20} = -1{,}875,
logo r = \pm i\sqrt{1{,}875} (raízes puramente imaginárias) e a terceira raiz será real negativa (porque os coeficientes são positivos). Assim o sistema apresenta oscilações sustentadas (par de imaginários) e decaimento ausente para esse modo — isto é, comportamento neutro/marginal. Portanto K=37{,}5 dá estabilidade marginal (neutra), não assintótica.
  • Caso K>37{,}5: a quantidade 15-0{,}4K (que aparece na primeira coluna da linha r^1 da tabela de Routh) torna-se negativa, o que implica mudança de sinal na primeira coluna e portanto existência de raiz com parte real positiva → sistema instável.

Passo 6

Resumo final das conclusões (didático e direto):
  • A faixa de estabilidade assintótica é exatamente quando todos os coeficientes são positivos e b c > a d, o que deu 0<K<37{,}5.
  • Para K fora dessa faixa ocorrem situações de instabilidade (alguma raiz com parte real positiva) ou estabilidade marginal (raiz nula ou par imaginário).

Resposta

Para K<0: Instável.
Para K=0: Neutra (marginal), há uma raiz r=0 e os outros dois têm parte real negativa.
Para 0<K<37{,}5: Estável (assintoticamente estável), todas as raízes têm parte real negativa.
Para K=37{,}5: Neutra (marginal), existe um par de raízes puramente imaginárias.
Para K>37{,}5: Instável.

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