- Calcule a derivada das seguintes funções:
d)
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada da função
Informações que temos:
- A função é dada por
multiplicada por . - A expressão dentro do logaritmo é
para todo , então a função está bem definida para todos os . - O objetivo é encontrar
, a derivada em termos de .
Passo 2
Primeiro, simplificamos a parte logarítmica usando a identidade de potências dentro do logaritmo:
Explicando rápido:
e
. Isso vale sempre que
, o que ocorre aqui. Assim podemos reescrever
Passo 3
Agora vamos derivar. Usaremos duas regras principais:
- Regra do produto: se
, então
Exemplo simples: se
e
, então
.
- Regra da cadeia para o logaritmo: se
então
Exemplo: se
, então
.
Vamos aplicar essas regras com cuidado. Observe que há um fator constante
multiplicando tudo; é mais prático fatorá-lo:
com
Então
.
Passo 4
Calculemos
aplicando a regra do produto a
- Derivada de
:
- Derivada de
usando regra da cadeia (com ):
Passo 5
Agora aplicamos a regra do produto:
E então
Passo 6
Vamos simplificar passo a passo. Primeiro distribui-se o
no primeiro termo:
No segundo termo, o
cancela o
do numerador:
Passo 7
Multiplicando o numerador do segundo termo:
Também dá para fatorar o numerador como
, ou deixar como acima. Assim uma forma simples e final para a derivada é