1. Calcule a derivada das seguintes funções:
d) f(x)=\left(x^{2}+3 x\right) \ln \left(\sqrt{x^{2}+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função
f(x)=\left(x^{2}+3x\right)\ln\!\left(\sqrt{x^{2}+1}\right).
Informações que temos:
  • A função é dada por \left(x^{2}+3x\right) multiplicada por \ln(\sqrt{x^{2}+1}).
  • A expressão dentro do logaritmo é \sqrt{x^{2}+1}>0 para todo x, então a função está bem definida para todos os x\in\mathbb{R}.
  • O objetivo é encontrar f'(x), a derivada em termos de x.

Passo 2

Primeiro, simplificamos a parte logarítmica usando a identidade de potências dentro do logaritmo:
\ln\!\big(\sqrt{x^{2}+1}\,\big)=\ln\!\big((x^{2}+1)^{1/2}\big)=\tfrac{1}{2}\ln(x^{2}+1).
Explicando rápido: \sqrt{a}=a^{1/2} e \ln(a^{\alpha})=\alpha\ln(a). Isso vale sempre que a>0, o que ocorre aqui. Assim podemos reescrever
f(x)=\tfrac{1}{2}(x^{2}+3x)\ln(x^{2}+1).

Passo 3

Agora vamos derivar. Usaremos duas regras principais:
  1. Regra do produto: se h(x)=u(x)\,v(x), então
h'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Exemplo simples: se u(x)=x e v(x)=\sin x, então h'(x)=1\cdot\sin x + x\cdot\cos x.
  1. Regra da cadeia para o logaritmo: se v(x)=\ln(u(x)) então
v'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Exemplo: se u(x)=x^{2}+1, então \dfrac{d}{dx}\ln(x^{2}+1)=\dfrac{2x}{x^{2}+1}.
Vamos aplicar essas regras com cuidado. Observe que há um fator constante \tfrac{1}{2} multiplicando tudo; é mais prático fatorá-lo: f(x)=\tfrac{1}{2}\,g(x) com
g(x)=(x^{2}+3x)\ln(x^{2}+1).
Então f'(x)=\tfrac{1}{2}g'(x).

Passo 4

Calculemos g'(x) aplicando a regra do produto a
g(x)=u(x)\,v(x),\quad\text{onde }u(x)=x^{2}+3x\text{ e }v(x)=\ln(x^{2}+1).
  • Derivada de u(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}(x^{2}+3x)=2x+3.
  • Derivada de v(x) usando regra da cadeia (com u_1(x)=x^{2}+1):
v'(x)=\frac{d}{dx}\ln(x^{2}+1)=\frac{2x}{x^{2}+1}.

Passo 5

Agora aplicamos a regra do produto:
g'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x)=(2x+3)\ln(x^{2}+1)+(x^{2}+3x)\cdot\frac{2x}{x^{2}+1}.
E então
f'(x)=\tfrac{1}{2}g'(x)=\tfrac{1}{2}\Big[(2x+3)\ln(x^{2}+1)+(x^{2}+3x)\cdot\frac{2x}{x^{2}+1}\Big].

Passo 6

Vamos simplificar passo a passo. Primeiro distribui-se o \tfrac{1}{2} no primeiro termo:
\tfrac{1}{2}(2x+3)\ln(x^{2}+1)=\left(x+\tfrac{3}{2}\right)\ln(x^{2}+1).
No segundo termo, o \tfrac{1}{2} cancela o 2 do numerador:
\tfrac{1}{2}\cdot (x^{2}+3x)\cdot\frac{2x}{x^{2}+1}=\frac{x(x^{2}+3x)}{x^{2}+1}.

Passo 7

Multiplicando o numerador do segundo termo:
\frac{x(x^{2}+3x)}{x^{2}+1}=\frac{x^{3}+3x^{2}}{x^{2}+1}.
Também dá para fatorar o numerador como x^{2}(x+3), ou deixar como acima. Assim uma forma simples e final para a derivada é
f'(x)=\left(x+\tfrac{3}{2}\right)\ln(x^{2}+1)+\frac{x^{3}+3x^{2}}{x^{2}+1}.

Resposta

f'(x)=\left(x+\tfrac{3}{2}\right)\ln(x^{2}+1)+\frac{x^{3}+3x^{2}}{x^{2}+1}.

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