[2,0 pts] O raio de curvatura do trilho no topo de uma das elevações de uma montanha-russa é 9,8 \mathrm{~m}. No topo da elevação, a força que o assento exerce sobre o passageiro corresponde a 43 \% do seu peso. Calcule a rapidez do carrinho, em km/h, ao passar pelo ponto mais alto da elevação.

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados e pede uma coisa só:
  • Raio de curvatura no topo: r=9,8\\ \mathrm{m}.
  • No topo da elevação, a força que o assento exerce sobre o passageiro corresponde a 43\% do seu peso; ou seja, N=0,43\,m g, onde N é a força do assento sobre o passageiro, m a massa do passageiro e g a aceleração da gravidade.
  • Adotar g=9,8\\ \mathrm{m/s^2} (valor padrão).
O que se pede:
  • Calcular a rapidez do carrinho ao passar pelo ponto mais alto da elevação, em \mathrm{km/h}.

Passo 2

Entendendo as forças no topo (diagrama de corpo livre, explicado com calma).
  • Há duas forças atuando sobre o passageiro no topo:
    • o peso, que é a força da gravidade apontando para baixo: P = m g;
    • a força do assento sobre o passageiro N, que normalmente aponta para cima (se o assento “sustenta” o passageiro). No problema foi dito que N=0,43\,m g, ou seja, é menor que o peso.
  • Como o passageiro descreve um movimento curvo (passa pelo ponto mais alto de uma curva de raio r), sua aceleração centrípeta é dirigida para o centro da curva — no topo isso é para baixo — e tem magnitude
a_c=\frac{v^2}{r},
onde v é a rapidez que queremos achar e r o raio de curvatura.

Passo 3

Relacionando forças com a aceleração centrípeta (segundo a Segunda Lei de Newton).
  • Escolhemos a direção positiva para cima e somamos as forças na vertical. A soma das forças (para cima positiva) é
\sum F = N - m g.
  • Mas a aceleração é para baixo com magnitude v^2/r, ou seja, a aceleração na nossa convenção é a=-\dfrac{v^2}{r}.
  • Pela Segunda Lei de Newton \sum F = m a. Substituindo:
N - m g = m\left(-\frac{v^2}{r}\right).
  • Rearranjando para ter os termos positivos do lado certo:
m g - N = m\frac{v^2}{r}.
Essa é a fórmula que usamos quando estamos no topo de uma curva convexa: a diferença entre o peso e a normal fornece a força centrípeta necessária.

Passo 4

Substituir N=0,43\,m g na equação e isolar v.
  • Substituindo:
m g - 0,43\,m g = m\frac{v^2}{r}.
  • Fatorando m g no lado esquerdo:
(1-0,43)\,m g = m\frac{v^2}{r}.
  • Simplificando m nos dois lados:
(1-0,43)\,g = \frac{v^2}{r}.
  • Calculando 1-0,43=0,57, obtemos
0,57\,g = \frac{v^2}{r}\quad\Rightarrow\quad v^2 = 0,57\,g\,r.

Passo 5

Cálculo numérico (mostrando as contas passo a passo) e conversão para \mathrm{km/h}.
  • Primeiro calcule g\cdot r:
g\cdot r = 9,8\cdot 9,8 = 96,04.
  • Agora multiplica por 0,57:
v^2 = 0,57\cdot 96,04 = 54,7428.
  • Tirando a raiz quadrada para obter v em \mathrm{m/s}:
v=\sqrt{54,7428}\approx 7,399\\ \mathrm{m/s}.
  • Converter para \mathrm{km/h} multiplicando por 3,6:
v \approx 7,399\cdot 3,6 \approx 26,64\\ \mathrm{km/h}.

Resposta

26,64\\ \mathrm{km/h}

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