[2,0 pts] O raio de curvatura do trilho no topo de uma das elevações de uma montanha-russa é
. No topo da elevação, a força que o assento exerce sobre o passageiro corresponde a
do seu peso. Calcule a rapidez do carrinho, em km/h, ao passar pelo ponto mais alto da elevação.
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes dados e pede uma coisa só:
- Raio de curvatura no topo:
. - No topo da elevação, a força que o assento exerce sobre o passageiro corresponde a
do seu peso; ou seja, , onde é a força do assento sobre o passageiro, a massa do passageiro e a aceleração da gravidade. - Adotar
(valor padrão).
O que se pede:
- Calcular a rapidez do carrinho ao passar pelo ponto mais alto da elevação, em
.
Passo 2
Entendendo as forças no topo (diagrama de corpo livre, explicado com calma).
- Há duas forças atuando sobre o passageiro no topo:
- o peso, que é a força da gravidade apontando para baixo:
; - a força do assento sobre o passageiro
, que normalmente aponta para cima (se o assento “sustenta” o passageiro). No problema foi dito que , ou seja, é menor que o peso.
- o peso, que é a força da gravidade apontando para baixo:
- Como o passageiro descreve um movimento curvo (passa pelo ponto mais alto de uma curva de raio
), sua aceleração centrípeta é dirigida para o centro da curva — no topo isso é para baixo — e tem magnitude
onde
é a rapidez que queremos achar e
o raio de curvatura.
Passo 3
Relacionando forças com a aceleração centrípeta (segundo a Segunda Lei de Newton).
- Escolhemos a direção positiva para cima e somamos as forças na vertical. A soma das forças (para cima positiva) é
- Mas a aceleração é para baixo com magnitude
, ou seja, a aceleração na nossa convenção é . - Pela Segunda Lei de Newton
. Substituindo:
- Rearranjando para ter os termos positivos do lado certo:
Essa é a fórmula que usamos quando estamos no topo de uma curva convexa: a diferença entre o peso e a normal fornece a força centrípeta necessária.
Passo 4
Substituir
na equação e isolar
.
- Substituindo:
- Fatorando
no lado esquerdo:
- Simplificando
nos dois lados:
- Calculando
, obtemos
Passo 5
Cálculo numérico (mostrando as contas passo a passo) e conversão para
.
- Primeiro calcule
:
- Agora multiplica por
:
- Tirando a raiz quadrada para obter
em :
- Converter para
multiplicando por :