Questão 3) Um tanque rigido de aço contém 300 g de Amônia (NH3) no estado gasoso, a uma pressão de 1,35 \times 10^{6} \mathrm{~Pa} e temperatura de 30^{\circ} \mathrm{C}. (a) Qual o volume do tanque? (b) O tanque é inspecionado mais tarde quando a temperatura cai para 20^{\circ} \mathrm{C} e a pressão para 8,7 \times 10^{\circ} \mathrm{Pa}. Quantos gramas de gás escaparam do tanque? (Um mol de amônia possui a massa de 17 g .)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Massa inicial de amônia: m_1 = 300\\ \mathrm{g}.
  • Pressão inicial: P_1 = 1{,}35\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
  • Temperatura inicial: T_1 = 30^\circ\mathrm{C}.
    Convertendo para Kelvin: T_1 = 30 + 273{,}15 = 303{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Nas inspeções mais tarde: temperatura final T_2 = 20^\circ\mathrm{C}.
    Convertendo: T_2 = 20 + 273{,}15 = 293{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Pressão final fornecida no enunciado aparece como 8{,}7\times10^{\circ}\\ \mathrm{Pa}. Isso está escrito de forma ambígua (o expoente ficou com um símbolo estranho). Vou assumir que o autor quis dizer P_2 = 8{,}7\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} (essa é uma suposição razoável porque a pressão caiu de 1{,}35\times10^{6}\\ \mathrm{Pa} para algo da ordem de 10^{5}\\ \mathrm{Pa}). Se o expoente correto for outro, o resultado muda; aqui prossigo com P_2 = 8{,}7\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  • Massa molar da amônia: M = 17\\ \mathrm{g/mol}.
O enunciado pede:
(a) o volume do tanque (assumindo que a amônia está no estado gasoso ideal nas condições dadas);
(b) quantos gramas de gás escaparam entre o momento inicial e a inspeção (ou seja, m_{\text{escapou}} = m_1 - m_2, onde m_2 é a massa restante na nova condição).

Passo 2

Princípio física/fórmula que vamos usar — Lei dos gases ideais.
A equação dos gases ideais é
PV = nRT,
onde:
  • P é a pressão (em \mathrm{Pa});
  • V é o volume (em \mathrm{m^3});
  • n é o número de mols (em \mathrm{mol});
  • R é a constante universal dos gases, R = 8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)} (ou \mathrm{Pa\cdot m^3/(mol\cdot K)});
  • T é a temperatura absoluta (em \mathrm{K}).
Também precisamos relacionar massa e mols:
n=\frac{m}{M},
onde m é a massa em gramas e M a massa molar em \mathrm{g/mol}. Assim, dado m e M obtemos n.
Como o tanque é rígido, o volume V é constante. Então:
  • primeiro uso o estado inicial para achar V usando n_1 = m_1/M e PV=nRT;
  • depois, com V conhecido e usando P_2 e T_2, calculo n_2 = P_2 V/(R T_2);
  • converto n_2 em massa restante m_2 = n_2 M;
  • finalmente m_{\text{escapou}} = m_1 - m_2.

Passo 3

Calcular o número de mols inicial n_1 a partir da massa inicial:
n_1=\frac{m_1}{M}=\frac{300\\ \mathrm{g}}{17\\ \mathrm{g/mol}}.
Fazendo a divisão:
n_1=\frac{300}{17}=17{,}6470588235\\ \mathrm{mol}.
Para contas subsequentes guardo n_1\approx17{,}64705882\\ \mathrm{mol} (mantendo precisão para evitar arredondamentos precoces).

Passo 4

Calcular o volume do tanque usando o estado inicial e a lei dos gases ideais:
V=\frac{n_1 R T_1}{P_1}.
Substituindo os valores (usando R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}, T_1=303{,}15\\ \mathrm{K}, P_1=1{,}35\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}):
V=\frac{17{,}64705882\cdot 8{,}314\cdot 303{,}15}{1{,}35\times10^{6}}\\ \mathrm{m^3}.
Agora calculemos passo a passo:
  1. n_1 R = 17{,}64705882 \times 8{,}314 \approx 146{,}7258062\\ \mathrm{J/K}.
  2. (n_1 R)T_1 = 146{,}7258062 \times 303{,}15 \approx 44\,479{,}92815\\ \mathrm{J} = \mathrm{Pa\cdot m^3}.
  3. Divide por P_1:
V \approx \frac{44\,479{,}92815}{1{,}350{,}000} \approx 0{,}03294\\ \mathrm{m^3}.
Converter para litros (opcional, 1 \mathrm{m^3}=1000\\ \mathrm{L}):
V \approx 32{,}94\\ \mathrm{L}.

Passo 5

Com o volume V conhecido e como o tanque é rígido (portanto V constante), calculamos o número de mols restante n_2 usando o estado final:
n_2=\frac{P_2 V}{R T_2}.
Usando P_2=8{,}7\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} (a suposição já mencionada), V=0{,}03294\\ \mathrm{m^3}, R=8{,}314 e T_2=293{,}15\\ \mathrm{K}:
n_2=\frac{8{,}7\times10^{5}\times 0{,}03294}{8{,}314\times 293{,}15}.
Calculemos passo a passo:
  1. Numerador: P_2 V = 8{,}7\times10^{5}\times 0{,}03294 \approx 28\,657{,}8\\ \mathrm{Pa\cdot m^3}.
  2. Denominador: R T_2 = 8{,}314\times 293{,}15 \approx 2\,437{,}384716\\ \mathrm{J/mol}.
  3. Portanto
n_2 \approx \frac{28\,657{,}8}{2\,437{,}384716} \approx 11{,}763\\ \mathrm{mol}.

Passo 6

Converter n_2 em massa restante m_2:
m_2 = n_2 M = 11{,}763\\ \mathrm{mol}\times 17\\ \mathrm{g/mol}.
Fazendo a conta:
m_2 \approx 11{,}763\times 17 \approx 199{,}971\\ \mathrm{g}\approx 200{,}0\\ \mathrm{g}.
Logo a massa que escapou é
m_{\text{escapou}} = m_1 - m_2 = 300\\ \mathrm{g} - 199{,}971\\ \mathrm{g} \approx 100{,}029\\ \mathrm{g}\approx 100{,}0\\ \mathrm{g}.
Arredondando com coerência nas cifras significativas (os dados iniciais têm 3 algarismos em 1{,}35\times10^{6} e 8{,}7\times10^{5}), podemos apresentar respostas com três algarismos significativos: V=0{,}0329\\ \mathrm{m^3} e m_{\text{escapou}}=100{,}0\\ \mathrm{g}.

Passo 7

Resumo rápido dos valores intermediários calculados (para checar a coerência):
  • n_1\approx17{,}647\\ \mathrm{mol}.
  • V\approx0{,}03294\\ \mathrm{m^3}=32{,}94\\ \mathrm{L}.
  • n_2\approx11{,}763\\ \mathrm{mol}.
  • m_2\approx200{,}0\\ \mathrm{g}.
  • m_{\text{escapou}}\approx100{,}0\\ \mathrm{g}.
Observação importante: o valor de m_{\text{escapou}} foi obtido assumindo P_2=8{,}7\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}. Se o expoente em P_2 for diferente do assumido, refaça o cálculo com o valor correto de P_2.

Resposta

(a) V\approx0{,}03294\\ \mathrm{m^3} (ou 32{,}94\\ \mathrm{L}).
(b) m_{\text{escapou}}\approx100{,}0\\ \mathrm{g}.

Exercícios relacionados