Uma partícula de 4,0 \mathrm{~kg} é submetido a duas forças constantes, \vec{F}_{1}=(1,9 \mathrm{~N}) \hat{\imath}+(-2,8 \mathrm{~N}) \hat{\jmath} e \vec{F}_{2}=(3,9 \mathrm{~N}) \hat{\imath}+(-9,0 \mathrm{~N}) \hat{\jmath}. (a) [1,0 pt] Qual é o vetor aceleração da partícula? A partícula está em repouso na origem no instante t=1,0 \mathrm{~s}. Considerando o tempo t=3,0 \mathrm{~s}, (b) [ 1,0 \mathrm{pt} ] qual é o vetor velocidade da partícula (c) [1,0 pt] e a que distância ele está da origem?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado deu e o que pede, para não ter dúvida nenhuma.
  • Dados fornecidos:
    • Massa da partícula: m=4,0\\ \mathrm{kg}.
    • Duas forças constantes:
      • \vec{F}_{1}=(1,9\\ \mathrm{N})\hat{\imath}+(-2,8\\ \mathrm{N})\hat{\jmath}.
      • \vec{F}_{2}=(3,9\\ \mathrm{N})\hat{\imath}+(-9,0\\ \mathrm{N})\hat{\jmath}.
    • Condição inicial: a partícula está em repouso na origem no instante t=1,0\\ \mathrm{s}. Ou seja:
      • \vec{r}(t=1,0\\ \mathrm{s})=\vec{0}.
      • \vec{v}(t=1,0\\ \mathrm{s})=\vec{0}.
    • Tempo de interesse: t=3,0\\ \mathrm{s}.
  • O que o enunciado pede:
    (a) o vetor aceleração da partícula;
    (b) o vetor velocidade da partícula em t=3,0\\ \mathrm{s};
    (c) a que distância ela está da origem em t=3,0\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Primeiro passo físico: somar as forças para encontrar a força resultante. Explicando o porquê: forças são vetores; somam-se componente a componente. Se duas forças atuam, a força resultante \vec{F}_{\text{res}} é a soma vetorial \vec{F}_{1}+\vec{F}_{2}.
Calculemos componente a componente (tudo em \mathrm{N}):
\text{componente }x:\; F_{x}=1,9+3,9=5,8
\text{componente }y:\; F_{y}=-2,8+(-9,0)=-11,8
Logo
\vec{F}_{\text{res}}=(5,8\\ \mathrm{N})\hat{\imath}+(-11,8\\ \mathrm{N})\hat{\jmath}.

Passo 3

Agora aplicamos a segunda lei de Newton para obter a aceleração. A segunda lei diz que a aceleração \vec{a} vem de
\vec{F}_{\text{res}}=m\vec{a}.
Aqui \vec{F}_{\text{res}} é a força resultante (em newtons), m é a massa (em quilogramas) e \vec{a} é a aceleração (em \mathrm{m/s^{2}}). Isolando \vec{a}:
\vec{a}=\frac{\vec{F}_{\text{res}}}{m}.
Fazendo componente a componente com m=4,0\\ \mathrm{kg}:
a_{x}=\frac{5,8}{4,0}=1,45\\ \mathrm{m/s^{2}}, \qquad a_{y}=\frac{-11,8}{4,0}=-2,95\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Portanto
\vec{a}=(1,45\\ \mathrm{m/s^{2}})\hat{\imath}+(-2,95\\ \mathrm{m/s^{2}})\hat{\jmath}.

Passo 4

Agora vamos à cinemática para achar a velocidade em t=3,0\\ \mathrm{s} e a posição (da qual tiramos a distância). Com aceleração constante, a fórmula para a velocidade é
\vec{v}(t)=\vec{v}(t_{0})+\vec{a}\,(t-t_{0}),
onde \vec{v}(t_{0}) é a velocidade no instante inicial t_{0}. Aqui o enunciado deu t_{0}=1,0\\ \mathrm{s} com \vec{v}(t_{0})=\vec{0}. O intervalo de tempo até t=3,0\\ \mathrm{s} é
\Delta t = t-t_{0}=3,0-1,0=2,0\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Calcular a velocidade em t=3,0\\ \mathrm{s} usando \vec{v}=\vec{v}_{0}+\vec{a}\,\Delta t. Como \vec{v}_{0}=\vec{0}:
\vec{v}(3{,}0\\ \mathrm{s})=\vec{a}\times 2{,}0.
Componentes:
v_{x}=1,45\times 2{,}0=2,90\\ \mathrm{m/s}, \qquad v_{y}=-2,95\times 2{,}0=-5,90\\ \mathrm{m/s}.
Logo
\vec{v}(3{,}0\\ \mathrm{s})=(2,90\\ \mathrm{m/s})\hat{\imath}+(-5,90\\ \mathrm{m/s})\hat{\jmath}.

Passo 6

Agora a posição em t=3,0\\ \mathrm{s}. Com aceleração constante, a posição é dada por
\vec{r}(t)=\vec{r}(t_{0})+\vec{v}(t_{0})\,(t-t_{0})+\tfrac{1}{2}\vec{a}\,(t-t_{0})^{2}.
Como \vec{r}(t_{0})=\vec{0} e \vec{v}(t_{0})=\vec{0}, temos
\vec{r}(3{,}0\\ \mathrm{s})=\tfrac{1}{2}\vec{a}\,(\Delta t)^{2}.
Com \Delta t=2{,}0\\ \mathrm{s}:
\vec{r}(3{,}0\\ \mathrm{s})=\tfrac{1}{2}\vec{a}\times (2{,}0)^{2}=\tfrac{1}{2}\vec{a}\times 4{,}0=2{,}0\\ \vec{a}.
Ou seja, numericamente \vec{r}=2\vec{a}. Calculando componentes:
r_{x}=2{,}0\times 1,45=2,90\\ \mathrm{m}, \qquad r_{y}=2{,}0\times (-2,95)=-5,90\\ \mathrm{m}.
Portanto
\vec{r}(3{,}0\\ \mathrm{s})=(2,90\\ \mathrm{m})\hat{\imath}+(-5,90\\ \mathrm{m})\hat{\jmath}.

Passo 7

Por fim, a distância da origem é o módulo do vetor posição. Explicando: para um vetor \vec{r}=(x)\hat{\imath}+(y)\hat{\jmath}, a distância ao ponto de referência (origem) é \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Aqui:
\text{dist}=\sqrt{(2,90)^{2}+(-5,90)^{2}}.
Calculemos:
(2,90)^{2}=8,41,\qquad (5,90)^{2}=34,81.
\text{dist}=\sqrt{8,41+34,81}=\sqrt{43,22}\approx 6,57\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) \vec{a}=(1,45\\ \mathrm{m/s^{2}})\hat{\imath}+(-2,95\\ \mathrm{m/s^{2}})\hat{\jmath}
(b) \vec{v}(3{,}0\\ \mathrm{s})=(2,90\\ \mathrm{m/s})\hat{\imath}+(-5,90\\ \mathrm{m/s})\hat{\jmath}
(c) \text{distância}=6,57\\ \mathrm{m}â

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