Verifique se a equação diferencial dada é exata, se for, resolva.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
O que se pede:
- Verificar se a equação é exata.
- Se for exata, resolver (achar a solução geral).
Informações explícitas que eu vou usar:
pois a equação está na forma
.
Passo 2
Condição de exatidão e verificação direta.
Lembrete rápido (vou explicar devagar): uma equação
é exata num domínio se existe uma função
tal que
e
. Uma condição prática é verificar se as derivadas parciais cruzadas coincidem:
Calculo as derivadas parciais:
Como
, a equação NÃO é exata na forma dada.
Passo 3
Procurando um fator integrante dependente só de
.
Motivação e fórmula (passo-a-passo didático):
- Se multiplicarmos a equação por um fator
que dependa somente de , obtemos . - Queremos que essa nova equação seja exata, ou seja,
- Como
, e , onde . - Igualando:
- Dividindo por
(assumindo ):
- Rearranjando:
- O lado direito depende só de
se a razão for função só de . Nesse caso,
Vou calcular essa razão para nosso
.
Passo 4
Calcular
e obter
.
Já calculamos
e
. Então
Isso depende somente de
, ótimo — existe fator integrante que depende só de
.
Agora calculo
:
portanto
Em geral podemos tomar
(considerando
). Então o fator integrante é
Passo 5
Multiplico a equação original por
e verifico exatidão.
Multiplicando temos a nova equação
Simplificando os coeficientes:
Verifico as derivadas parciais:
Como são iguais, a equação multiplicada por
é exata (em qualquer região onde
).
Passo 6
Construindo a função potencial
cuja diferencial é
.
Queremos
e
.
Integro
em relação a
, tratando
como constante:
Faço cada integral separadamente (explicando detalhe por detalhe):
-
-
(note o valor absoluto) -
(aqui é constante na integração em )
Somando e adicionando uma “constante” que pode depender de
, chamo de
:
Passo 7
Determino
usando
.
Calculo
(derivando a expressão anterior em relação a
; lembrar que
é tratado como constante agora):
Isso deve ser igual a
. Assim
Logo
é constante; escrevo
.
Portanto a função potencial é
A solução geral implícita da equação diferencial (após multiplicar pelo fator integrante) é
(onde
é constante arbitrária — pode absorver o sinal de
anterior).
Observação final: todo o processo exige
(porque usamos
e
). Então a solução é válida em cada região onde
ou
.