Considere a região B, em coordenadas polares, dada por
B=\left\{(\theta, \rho):-\frac{\pi}{6} \leq \theta \leq \frac{\pi}{6} \text { e } 0 \leq \rho \leq \cos \theta\right\} .
(a) [1,5 pts ] Determine a área de B.
(b) [1,5 pts ] Calcule \iint_{B} \frac{1}{x} d y d x.

Passo 1

O enunciado fornece a região B em coordenadas polares e pede duas coisas. Informação dada:
B=\left\{(\theta,\rho):-\frac{\pi}{6}\le\theta\le\frac{\pi}{6}\\ \text{ e }\\\ 0\le\rho\le\cos\theta\right\}.
Perguntas do enunciado:
  1. (a) Determinar a área de B.
  2. (b) Calcular \iint_{B}\frac{1}{x}\,dy\,dx.
Observações úteis que guardo para resolver: os limites em \theta são simétricos em relação a 0 e \cos\theta é positivo nesse intervalo; a integral do item (b) será tratada trocando para coordenadas polares.

Passo 2

Revisão rápida e prática: mudança para coordenadas polares e elemento de área.
  • Em coordenadas polares, um ponto tem coordenadas (x,y)=(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta).
  • O elemento de área dA=dy\,dx transforma-se em dA=\rho\,d\rho\,d\theta.
    Explicação do porquê: o Jacobiano da transformação (\rho,\theta)\mapsto(x,y) vale \rho, daí dy\,dx=\rho\,d\rho\,d\theta. Isso é padrão e fundamental para integrar sobre regiões descritas por \rho e \theta.

Passo 3

Resolver (a) — montar a integral para a área de B.
A área de B é
\text{Área}(B)=\iint_{B} dA = \int_{\theta=-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}}\int_{\rho=0}^{\cos\theta} \rho\,d\rho\,d\theta,Á
pois dA=\rho\,d\rho\,d\theta e os limites para \rho e \theta são dados pela definição de B.

Passo 4

Calcular a integral interna (em \rho) e simplificar.
A integral interna é
\int_{0}^{\cos\theta}\rho\,d\rho = \left.\frac{\rho^{2}}{2}\right|_{0}^{\cos\theta} = \frac{(\cos\theta)^{2}}{2} = \frac{1}{2}\cos^{2}\theta.
Portanto
\text{Área}(B)=\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{2}\cos^{2}\theta\,d\theta.Á

Passo 5

Avaliar a integral em \theta. Usamos a identidade \cos^{2}\theta=\dfrac{1+\cos(2\theta)}{2}.
Então
\text{Área}(B)=\frac{1}{2}\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}}\cos^{2}\theta\,d\theta =\frac{1}{2}\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}}\frac{1+\cos(2\theta)}{2}\,d\theta =\frac{1}{4}\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}}\big(1+\cos(2\theta)\big)\,d\theta.Á
Calcule a primitiva:
\int\big(1+\cos(2\theta)\big)d\theta = \theta + \frac{1}{2}\sin(2\theta).
Avaliação entre -\frac{\pi}{6} e \frac{\pi}{6}:
\left[\theta+\frac{1}{2}\sin(2\theta)\right]_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} = \left(\frac{\pi}{6}+\frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{3}\right)-\left(-\frac{\pi}{6}+\frac{1}{2}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right).
Como \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2} e \sin(-\frac{\pi}{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}, isso dá
\frac{\pi}{6}+\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{6}+\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}.
Multiplicando pelo fator \frac{1}{4} que estava fora:
\text{Área}(B)=\frac{1}{4}\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\pi}{12}+\frac{\sqrt{3}}{8}.Á

Passo 6

Resolver (b) — montar a integral de \iint_{B}\frac{1}{x}\,dy\,dx em coordenadas polares.
Primeiro escrevemos x em polares: x=\rho\cos\theta. Então o integrando \frac{1}{x} vira \frac{1}{\rho\cos\theta}. Multiplicando pelo Jacobiano \rho obtemos a integral em (\rho,\theta):
\iint_{B}\frac{1}{x}\,dy\,dx = \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}}\int_{0}^{\cos\theta} \frac{1}{\rho\cos\theta}\cdot \rho\,d\rho\,d\theta = \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}}\int_{0}^{\cos\theta} \frac{1}{\cos\theta}\,d\rho\,d\theta.
Notar e justificar: embora \frac{1}{x} seja singular onde x=0, no domínio dado \cos\theta>0 para \theta\in\big[-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6}\big], e a única possibilidade de x=0 é \rho=0 (ponto de medida zero). Após multiplicar pelo Jacobiano, o integrando ficou \frac{1}{\cos\theta}, que é finito para todos \theta do intervalo. Logo a integral imprópria é bem definida.

Passo 7

Fazer a integral interna (em \rho):
\int_{0}^{\cos\theta}\frac{1}{\cos\theta}\,d\rho = \frac{1}{\cos\theta}\left[\rho\right]_{0}^{\cos\theta} = \frac{1}{\cos\theta}\cdot\cos\theta = 1.
Portanto a integral total simplifica muito:
\iint_{B}\frac{1}{x}\,dy\,dx = \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} 1\,d\theta.

Passo 8

Avaliar a integral em \theta:
\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}}1\,d\theta = \left[\theta\right]_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} = \frac{\pi}{6}-\left(-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\pi}{3}.
Portanto o valor do item (b) é \dfrac{\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \text{Área}(B)=\frac{\pi}{12}+\frac{\sqrt{3}}{8}Á \n
\displaystyle \iint_{B}\frac{1}{x}\,dy\,dx=\frac{\pi}{3}

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