(a) [1,5 pts ] Determine a área de B.
(b) [1,5 pts ] Calcule \iint_{B} \frac{1}{x} d y d x.
Passo 1
O enunciado fornece a região B em coordenadas polares e pede duas coisas. Informação dada:
B=\left\{(\theta,\rho):-\frac{\pi}{6}\le\theta\le\frac{\pi}{6}\\ \text{ e }\\\ 0\le\rho\le\cos\theta\right\}.
Perguntas do enunciado:
(a) Determinar a área de B.
(b) Calcular \iint_{B}\frac{1}{x}\,dy\,dx.
Observações úteis que guardo para resolver: os limites em \theta são simétricos em relação a 0 e \cos\theta é positivo nesse intervalo; a integral do item (b) será tratada trocando para coordenadas polares.
Passo 2
Revisão rápida e prática: mudança para coordenadas polares e elemento de área.
Em coordenadas polares, um ponto tem coordenadas (x,y)=(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta).
O elemento de área dA=dy\,dx transforma-se em dA=\rho\,d\rho\,d\theta.
Explicação do porquê: o Jacobiano da transformação (\rho,\theta)\mapsto(x,y) vale \rho, daí dy\,dx=\rho\,d\rho\,d\theta. Isso é padrão e fundamental para integrar sobre regiões descritas por \rho e \theta.
Passo 3
Resolver (a) — montar a integral para a área de B.
A área de B é
\text{Área}(B)=\iint_{B} dA = \int_{\theta=-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}}\int_{\rho=0}^{\cos\theta} \rho\,d\rho\,d\theta,
pois dA=\rho\,d\rho\,d\theta e os limites para \rho e \theta são dados pela definição de B.
Passo 4
Calcular a integral interna (em \rho) e simplificar.
A integral interna é
Resolver (b) — montar a integral de \iint_{B}\frac{1}{x}\,dy\,dx em coordenadas polares.
Primeiro escrevemos x em polares: x=\rho\cos\theta. Então o integrando \frac{1}{x} vira \frac{1}{\rho\cos\theta}. Multiplicando pelo Jacobiano \rho obtemos a integral em (\rho,\theta):
Notar e justificar: embora \frac{1}{x} seja singular onde x=0, no domínio dado \cos\theta>0 para \theta\in\big[-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6}\big], e a única possibilidade de x=0 é \rho=0 (ponto de medida zero). Após multiplicar pelo Jacobiano, o integrando ficou \frac{1}{\cos\theta}, que é finito para todos \theta do intervalo. Logo a integral imprópria é bem definida.